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FrattaliTriangolo di Sierpinski

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Uno dei frattali che abbiamo visto nel capitolo precedente era il triangolo di Sierpinski, dal matematico polacco Wacław Sierpiński. Può essere creato iniziando con un grande triangolo equilatero, quindi tagliando ripetutamente triangoli più piccoli a partire dal centro.

Wacław Sierpiński è stato il primo matematico a pensare alle proprietà di questo triangolo, ma questa figura geometrica era apparsa molti secoli prima in opere d'arte, disegni e mosaici.

Ecco alcuni esempi di soffitti di diverse chiese di Roma:

A quanto pare, il triangolo di Sierpinski appare in una vasta gamma di altre aree della matematica e ci sono molti modi diversi per generarlo. In questo capitolo, ne esploreremo alcuni!

Triangolo di Pascal

Potresti già ricordare il triangolo di Sierpinski dal nostro capitolo sul Triangolo di Pascal. Questa è una piramide numerica in cui ogni numero è la somma dei due numeri sopra. Clicca su tutti i numeri pari nel triangolo in basso, per evidenziarli – e vedi se noti uno schema:

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24310
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Il triangolo di Pascal può essere continuato verso il basso all’infinito, e il modello di Sierpinski continuerà con triangoli sempre più grandi. Puoi già vedere l'inizio di un triangolo ancora più grande, a partire dalla riga 16.

Se due celle adiacenti sono divisibili per 2, anche la loro somma nella cella sottostante deve essere divisibile per 2, ecco perché possiamo ottenere solo triangoli colorati (o singole celle). Naturalmente, possiamo anche provare a colorare tutte le celle divisibili per numeri diversi da 2. Cosa pensi che succederà in quei casi?

Divisible by ${n}:

Qui puoi vedere una versione rimpicciolita delle prime 128 file del triangolo di Pascal. Abbiamo evidenziato tutte le celle che sono divisibili per ${n} - che cosa noti?

Per ogni numero, abbiamo un modello triangolare diverso, simile al triangolo di Sierpinski. Il modello è particolarmente regolare se scegliamo un . Se il numero ha molti fattori primi diversi, il modello sembra più casuale.

Gioco del Caos

Qui puoi vedere i tre vertici di un triangolo equilatero. Tocca un punto qualsiasi nell'area grigia per creare un quarto punto.

Facciamo un semplice gioco: scegliamo uno dei vertici del triangolo in modo casuale, tracciamo un segmento tra il nostro punto e il vertice, quindi troviamo il punto medio di quel segmento.

Ora ripetiamo il processo: scegliamo un altro vertice casuale, disegniamo il segmento dal nostro ultimo punto e quindi troviamo il punto medio. Nota che il colore di questi nuovi punti corrisponde al colore del vertice del triangolo che abbiamo scelto.

Finora non è successo nulla di sorprendente, ma guarda cosa succede se ripetiamo lo stesso processo molte volte:

Questo processo è chiamato Gioco del Caos. Potrebbero esserci alcuni punti vaganti all'inizio, ma se ripeti gli stessi passaggi più volte ancora, la distribuzione dei punti inizia ad assomigliare esattamente al triangolo di Sierpinski!

Ci sono molte altre versioni di questo processo – ad esempio, potremmo iniziare con un quadrato o un pentagono, potremmo aggiungere regole, come quella di non essere in grado di selezionare lo stesso vertice due volte di seguito, oppure potremmo scegliere il punto successivo con un rapporto diverso da un 12 del segmento. In alcuni di questi casi, avremo solo una distribuzione casuale di punti, ma in altri casi, riveleremo ancora più frattali:

Triangle
Square
Pentagon

Hai scoperto il o questo basato sul rapporto aureo?

Automi Cellulari

Un automa cellulare è una griglia costituita da molte singole celle. Ogni cella può trovarsi in diversi "stati" (ad esempio colori diversi) e lo stato di ogni cella è determinato dalle celle circostanti.

Nel nostro esempio, ogni cella può essere bianca o nera. Iniziamo con una riga che contiene un solo quadrato nero. In ogni riga successiva, il colore di ogni cella è determinato dalle tre celle immediatamente sopra. Tocca le otto possibili opzioni sottostanti per capovolgerne il colore: puoi trovare una serie di regole per creare uno schema simile al triangolo di Sierpinski?

Sono disponibili due scelte per ciascuna delle otto opzioni, il che significa che ci sono 28= possibili regole in totale. Alcune, come la , sembrano al triangolo di Sierpinski. Altre, come la , sembrano completamente caotiche. Quest'ultima è stata scoperta da Stephen Wolfram nel 1983 e i computer possono usarla persino per generare numeri casuali!

Gli automi cellulari mostrano come si possano creare schemi estremamente complessi con regole molto semplici, proprio come i frattali. Anche molti processi in natura seguono regole semplici, ma producono sistemi incredibilmente complessi.

In alcuni casi, questo può portare alla comparsa di motivi che sembrano proprio agli automi cellulari, ad esempio i colori sul guscio di questa lumaca.

Conus textile, una lumaca di mare velenosa

Tetraedri di Sierpinski

Esistono molte varianti del triangolo di Sierpinski e altri frattali con proprietà e processi di creazione simili. Alcuni sembrano bidimensionali, come il Tappeto di Sierpinski che hai visto sopra. Altri sembrano tridimensionali, come questi esempi:

Tetraedro di Sierpinski

Piramide di Sierpinski

Archie