Cerchi e PiGradi e radianti

Finora in geometria, abbiamo sempre misurato gli angoli in gradi . UN la rotazione del cerchio completo è di °, a il semicerchio è di °, a il quarto di cerchio è di ° e così via.

Il numero 360 è molto conveniente perché è divisibile per tanti altri numeri: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 e così via. Ciò significa che molte frazioni di un cerchio sono anche numeri interi. Ma ti sei mai chiesto da dove viene il numero 360?

In effetti, i 360 gradi sono uno dei concetti più antichi in matematica che usiamo ancora oggi. Sono stati sviluppati nell'antica Babilonia, oltre 5000 anni fa!

A quel tempo, una delle applicazioni più importanti della matematica era in astronomia. Il sole determina le quattro stagioni, che gli agricoltori devono sapere quando coltivano colture. Allo stesso modo, la luna determina le maree, che era importante per i pescatori. Le persone hanno anche studiato le stelle per predire il futuro o per comunicare con gli dei.

Una tavoletta babilonese per il calcolo 2

Gli astronomi hanno notato che le costellazioni visibili in un momento specifico durante la notte si spostavano un po 'ogni giorno - fino a quando, dopo circa 360 giorni, erano tornate al loro punto di partenza. E questo potrebbe essere stato il motivo per cui hanno diviso il cerchio in 360 gradi.

Midnight on day ${day}

Certo, in realtà ci sono 365 giorni in un anno (beh, 365.242199 per l'esattezza), ma i matematici babilonesi hanno lavorato con semplici meridiane e questa approssimazione era perfettamente adeguata.

Funzionava bene anche con il loro attuale sistema di numeri base 60 (da allora 6×60=360 ). Questo sistema è il motivo per cui abbiamo ancora 60 secondi in un minuto e 60 minuti in un'ora - anche se la maggior parte delle altre unità sono misurate in base 10 (ad esempio 10 anni in un decennio o 100 anni in un secolo).

Per molti di noi, misurare gli angoli in gradi è una seconda natura: c'è un video a 360°, gli skateboarder possono tirare 540 e qualcuno che cambia la propria decisione potrebbe girare di 180°.

Ma da un punto di vista matematico, la scelta di 360 è completamente arbitraria. Se vivessimo su Marte, un cerchio potrebbe avere 670° e un anno su Giove ha anche 10.475 giorni.

La 540 McFlip, una rotazione di 540°

radianti

Piuttosto che dividere un cerchio in un certo numero di segmenti (come 360 gradi), i matematici spesso preferiscono misurare gli angoli usando la circonferenza di un cerchio unitario (un cerchio con raggio 1).

UN ha la circonferenza .

Per un .

E così via: questo modo di misurare gli angoli si chiama radianti (si potrebbe ricordare questo come "unità di raggio").

Ogni angolo in gradi ha una dimensione equivalente in radianti. La conversione tra i due è molto semplice - proprio come è possibile convertire tra altre unità come metri e chilometri, o Celsius e Fahrenheit:

360° = 2 π rad

⇒ 1° = RAD

⇒ 1 rad = °

Puoi scrivere il valore dei radianti sia come multiplo di π , sia come solo un singolo numero decimale. Puoi compilare questa tabella con dimensioni angolari equivalenti in gradi e radianti?

gradi	0	60		180
radianti	0		2		32π

Distanza percorsa

Puoi pensare ai radianti come alla "distanza percorsa" lungo la circonferenza di un cerchio unitario. Ciò è particolarmente utile quando si lavora con oggetti che si muovono su un percorso circolare.

Ad esempio, la Stazione Spaziale Internazionale orbita attorno alla Terra una volta ogni 1,5 ore. Ciò significa che la sua velocità di rotazione è radianti all'ora.

In un cerchio unitario , la velocità di rotazione è la stessa della velocità effettiva , poiché la lunghezza della circonferenza è la stessa di una rotazione completa in radianti (entrambi sono 2π ).

Il raggio dell'orbita della ISS è 6800 km, il che significa che deve essere la velocità effettiva della ISS = 28483 km all'ora.

${round(p*1.5,1)}h

Riesci a vedere che, in questo esempio, i radianti sono un'unità molto più conveniente dei gradi? Una volta che conosciamo la velocità di rotazione, dobbiamo semplicemente moltiplicare per il raggio per ottenere la velocità effettiva.

Ecco un altro esempio: la tua auto ha ruote con raggio di 0,25 m. Se stai guidando a una velocità di 20 m / s, le ruote della tua auto ruotano a radianti al secondo (o 802π=13 rotazioni al secondo).

Trigonometria

Per la maggior parte dei semplici problemi di geometria, gradi e radianti sono completamente intercambiabili: puoi scegliere quale preferisci o una domanda potrebbe dirti in quale unità dare la tua risposta. Tuttavia, una volta che studi trigonometria o calcolo più avanzati, risulta che i radianti sono molto più convenienti dei gradi.

La maggior parte dei calcolatori ha un pulsante speciale per passare da gradi a radianti. Le funzioni trigonometriche come sin , cos e tan prendono gli angoli come input e le loro funzioni inverse arcsin , arccos e arctan restituiscono gli angoli come output. L'impostazione attuale della calcolatrice determina quali unità sono utilizzate per questi angoli.

Prova a usare questo calcolatore per calcolarlo

sin (30°) = cos (1°) = sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG

sin

cos

tan

mode

L'uso dei radianti ha un vantaggio particolarmente interessante quando si utilizza la funzione Sine. Se θ è un angolo molto piccolo (inferiore a 20° o 0,3 rad), quindi sinθ≈θ . Per esempio,

peccato( ${x} ) ≈${sin(x)} ...

Questa è chiamata approssimazione dell'angolo piccolo e può semplificare notevolmente alcune equazioni contenenti funzioni trigonometriche. Imparerai molto di più su questo in futuro.

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Distanza percorsa

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