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Cerchi e Piintroduzione

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Finché sono esistiti gli esseri umani, abbiamo guardato verso il cielo e abbiamo cercato di spiegare la vita sulla Terra usando il movimento di stelle, pianeti e luna.

Gli antichi astronomi greci furono i primi a scoprire che tutti gli oggetti celesti si muovono su percorsi regolari, chiamati orbite . Credevano che queste orbite fossero sempre circolari. Dopotutto, i cerchi sono il “più perfetto” di tutte le forme: simmetrici in ogni direzione, e quindi una scelta adatta per l'ordine sottostante del nostro universo.

La Terra è al centro dell'universo tolemaico .

Ogni punto su un cerchio ha la stessa distanza dal suo centro. Ciò significa che possono essere disegnati usando una bussola :

Esistono tre importanti misurazioni relative ai cerchi che devi conoscere:

  • Il il raggio è la distanza dal centro di un cerchio al suo bordo esterno.
  • Il il diametro è la distanza tra due punti opposti su un cerchio. Attraversa il suo centro e la sua lunghezza è del raggio.
  • Il circonferenza (o perimetro) è la distanza attorno a un cerchio.

Una proprietà importante dei cerchi è che tutti i cerchi sono simili . Puoi dimostrarlo mostrando come è possibile abbinare tutte le cerchie usando semplicemente traduzioni e dilatazioni :

Potresti ricordare che, per poligoni simili, il rapporto tra i lati corrispondenti è sempre costante. Qualcosa di simile funziona per i cerchi: il rapporto tra la circonferenza e il diametro è uguale per tutti i cerchi . È sempre 3.14159 ... - un numero misterioso chiamato Pi , che è spesso scritto come la lettera greca π per "p". Pi ha infinite cifre decimali che vanno avanti per sempre senza alcun modello specifico:

Ecco una ruota con diametro 1. Mentre “srotoli” la circonferenza, puoi vedere che la sua lunghezza è esattamente :

01234π

Per un cerchio con diametro d , la circonferenza è C=π×d . Allo stesso modo, per un cerchio con raggio r , la circonferenza è

C= .

I cerchi sono perfettamente simmetrici e non hanno "punti deboli" come gli angoli di un poligono. Questo è uno dei motivi per cui possono essere trovati ovunque in natura:

Fiori

pianeti

Alberi

Frutta

Bolle di sapone

E ci sono molti altri esempi: dagli arcobaleni alle increspature dell'acqua. Ti viene in mente altro?

Si scopre anche che un cerchio è la forma con l'area più grande per una determinata circonferenza. Ad esempio, se hai una corda di lunghezza 100  m, puoi usarla per racchiudere lo spazio più grande se formi un cerchio (piuttosto che altre forme come un rettangolo o un triangolo).

In natura, oggetti come gocce d'acqua o bolle d'aria possono risparmiare energia diventando circolari o sferici e riducendo la loro superficie.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Circonferenza = 100 , Area = ${area}

L'area di un cerchio

Ma come calcoliamo effettivamente l'area di un cerchio? Proviamo la stessa tecnica che abbiamo usato per trovare l'area dei quadrilateri : tagliamo la forma in più parti diverse e quindi riordiniamo in una forma diversa di cui già conosciamo l'area (ad esempio un rettangolo o un triangolo).

L'unica differenza è che, poiché i cerchi sono curvi, dobbiamo usare alcune approssimazioni:

rπr

Qui puoi vedere un cerchio diviso in ${toWord(n1)} cunei. Spostare il dispositivo di scorrimento, per allineare i cunei in una riga.

Se aumentiamo il numero di zeppe a ${n1} , questa forma inizia ad apparire sempre più come un .

L'altezza del rettangolo è uguale al del cerchio. La larghezza del rettangolo è uguale alla del cerchio. (Nota come metà delle zeppe sono rivolte verso il basso e metà di esse rivolte verso l'alto.)

Pertanto l'area totale del rettangolo è approssimativamente A=πr2 .

r2πr

Qui puoi vedere un cerchio diviso in ${toWord(n)} anelli. Come in precedenza, è possibile spostare il dispositivo di scorrimento per "sbloccare" gli anelli.

Se aumentiamo il numero di squilli a ${n2} , questa forma inizia ad apparire sempre più come un .

L'altezza del triangolo è uguale al del cerchio. La base del triangolo è uguale alla del cerchio. Pertanto l'area totale del triangolo è approssimativamente

A=12base×height=πr2 .

Se potessimo usare infinitamente molti anelli o zeppe, le approssimazioni sopra sarebbero perfette - ed entrambi ci darebbero la stessa formula per l'area di un cerchio:

A=πr2 .

Calcolo Pi

Come hai visto sopra, π=3.1415926 non è un numero intero semplice e le sue cifre decimali vanno avanti per sempre, senza ripetizioni. I numeri con questa proprietà sono chiamati numeri irrazionali e ciò significa che π non può essere espresso come una frazione semplice ab .

Significa anche che non possiamo mai scrivere tutte le cifre di Pi - dopo tutto, ce ne sono infinitamente molte. I matematici greci e cinesi antichi calcolavano le prime quattro cifre decimali di Pi approssimando cerchi usando poligoni regolari. Notare come, quando si aggiungono più lati, il poligono inizia a sembrare come un cerchio:

Nel 1665, Isaac Newton riuscì a calcolare 15 cifre. Oggi possiamo usare potenti computer per calcolare il valore di Pi con una precisione molto maggiore.

Il record attuale è di 31,4 trilioni di cifre. Un libro stampato contenente tutte queste cifre avrebbe uno spessore di circa 400  km - questa è l'altezza alla quale la Stazione Spaziale Internazionale orbita attorno alla Terra!

Naturalmente, non è necessario ricordare che molte cifre di Pi. In effetti, la frazione 227=3.142 è una grande approssimazione.

Un approccio per il calcolo di Pi sta usando infinite sequenze di numeri. Ecco un esempio che è stato scoperto da Gottfried Wilhelm Leibniz nel 1676:

π=4143+4547+494+

Man mano che calcoliamo sempre più termini di questa serie, seguendo sempre lo stesso modello, il risultato si avvicina sempre di più a Pi.

Molti matematici credono che Pi abbia una proprietà ancora più curiosa: che sia un numero normale . Ciò significa che le cifre da 0 a 9 appaiono completamente casuali, come se la natura avesse lanciato un dado a 10 facce infinitamente molte volte, per determinare il valore di Pi.

Qui puoi vedere le prime 100 cifre di Pi. Spostati su alcune celle per vedere come sono distribuite le cifre.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Se Pi è normale, significa che puoi pensare a qualsiasi stringa di cifre e apparirà da qualche parte nelle sue cifre. Qui puoi cercare le prime un milione di cifre di Pi: contengono il tuo compleanno?

Un milione di cifre di Pi

Search for a string of digits:
3.

Potremmo persino convertire un intero libro, come Harry Potter, in una lunga serie di cifre (a = 01, b = 02 e così via). Se Pi è normale, questa stringa apparirà da qualche parte nelle sue cifre - ma ci vorrebbero milioni di anni per calcolare cifre sufficienti per trovarla.

Pi è facile da capire, ma di fondamentale importanza nella scienza e nella matematica. Questo potrebbe essere un motivo per cui Pi è diventato insolitamente popolare nella nostra cultura (almeno, rispetto ad altri argomenti di matematica):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

C'è anche un giorno Pi ogni anno, che cade il 14 marzo, perché π3.14 , o il 22 luglio, perché π227 .