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Cerchi e PiTangenti, Accordi e Archi

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Nelle sezioni precedenti, hai appreso i nomi dati a diverse parti di un cerchio - come centro, raggio, diametro e circonferenza. Tuttavia, ci sono molti elementi geometrici correlati a un cerchio, che dovremo risolvere problemi più complessi:

  • UN secante è una linea che interseca un cerchio in due punti.
  • UN l'accordo è un segmento di linea i cui punti finali si trovano sulla circonferenza di un cerchio.
  • UN tangente è una linea che tocca un cerchio esattamente in un punto. Questo è chiamato il punto di tangenza .
  • Un l'arco è una sezione della circonferenza di un cerchio.
  • UN il settore è una parte dell'interno di un cerchio, delimitato da un arco e due raggi .
  • Infine, a il segmento è una parte dell'interno di un cerchio, delimitato da un arco e un accordo .

In questa sezione, esamineremo la relazione tra tutti questi elementi e dimostreremo i teoremi sulle loro proprietà. Non preoccuparti di memorizzare tutte le definizioni per ora: puoi sempre usare il glossario .

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Archi e settori

La maggior parte degli scienziati nell'antica Grecia concordava sul fatto che la Terra fosse una sfera. C'erano molte prove: dalle navi che sparivano dietro l'orizzonte in mare, al movimento circolare delle stelle durante la notte.

Sfortunatamente, nessuno sapeva esattamente quanto fosse grande la Terra - fino al 200 a.C. circa, quando il matematico Eratostene trovò un modo ingegnoso per misurare il raggio terrestre, usando la geometria di base. Tutto ciò di cui abbiamo bisogno è un po 'più di conoscenza su archi e settori di un cerchio.

Come puoi vedere nel diagramma, un l'arco fa parte della di un cerchio e a il settore fa parte degli di un cerchio.

L'arco tra due punti A e B è spesso scritto come AB . Questa definizione è leggermente ambigua: esiste un secondo arco che collega A e B ma fa il contrario.

Il più piccolo dei due archi è chiamato arco minore e quello più grande è chiamato arco maggiore . Se i punti A e B sono esattamente uno di fronte all'altro, entrambi gli archi hanno la stessa lunghezza e sono .

Per trovare la lunghezza di un arco o l'area di un settore, dobbiamo conoscere l'angolo corrispondente al centro del cerchio: questo è chiamato il angolo centrale .

Notare come l'arco, il settore e l'angolo occupino tutti la stessa proporzione di un cerchio completo. Ad esempio, se il l'angolo centrale è , occupa di a cerchio completo .

Ciò significa che il anche la lunghezza dell'arco 14 del intera circonferenza del cerchio e area del settore è 14 del intera area del cerchio.

Possiamo esprimere questa relazione in un'equazione:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Ora possiamo riorganizzare queste equazioni per trovare la variabile che ci interessa. Ad esempio,

lunghezza dell'arco=circumference×c360
=2πr×c360
area del settore=circle area×c360
=πr2×c360

dove r è il raggio del cerchio e c è la dimensione dell'angolo centrale.

Se l'angolo centrale viene misurato in radianti anziché in gradi , possiamo usare le stesse equazioni, ma dobbiamo sostituire a 360° :

lunghezza dell'arco=2πr×c2π
=r×c
area del settore=πr2×c2π
=12r2c

Notare come le equazioni diventano molto più semplici e π si annulla dappertutto. Questo perché, come ricorderete, la definizione di radianti è sostanzialmente la lunghezza di un arco in un cerchio con raggio 1.

Ora vediamo come possiamo usare archi e settori per calcolare la circonferenza della Terra.

Nell'antico Egitto, la città di Swenet era situata lungo il fiume Nilo. Swenet era famosa per un pozzo con una proprietà curiosa: ogni anno c'era un momento in cui la luce del sole raggiungeva il fondo del pozzo, a mezzogiorno del 21 giugno, giorno del solstizio d'estate . In quel preciso momento, il fondo del pozzo era illuminato, ma non i suoi lati, il che significava che il Sole era direttamente sopra il pozzo.

Gli antichi egizi misuravano le lunghe distanze contando il numero di passi necessari per camminare.

Alcune fonti affermano che il "Pozzo di Eratostene" si trovava sull'isola di Elefantina sul fiume Nilo.

Il matematico Eratostene visse ad Alessandria , a circa 800 km a nord di Swenet, dove era direttore della Grande Biblioteca. Nel centro di Alessandria c'era un obelisco, un monumento alto e stretto con una cima a forma di piramide.

Eratostene notò che a mezzogiorno del giorno del solstizio d'estate, l'obelisco gettava un'ombra - il che significa che il sole non era direttamente sopra di esso. Ne dedusse che ciò era dovuto alla curvatura della Terra e si rese conto che poteva essere usato per calcolare la circonferenza del nostro pianeta.

Qui puoi vedere il pozzo di Swenet e l'obelisco di Alessandria. I raggi del sole cadono direttamente nel pozzo, ma colpiscono l'obelisco in un angolo e proiettano un'ombra.

Eratostene ha misurato che il l'angolo dell'ombra era di 7,2°. Questo è lo stesso del angolo centrale del arco da Alessandria a Swenet, perché si angoli .

Ora possiamo usare l'equazione per la lunghezza dell'arco che abbiamo derivato sopra:

arc lengthcircumference=°360°

Se riordiniamo questo, scopriamo che la circonferenza della Terra è

circumference=360°7.2°×800 km=km

Infine, sappiamo che la circonferenza di un cerchio è C=2πr , quindi il raggio della Terra è

rEarth=40000km2π6400km .

La misurazione di Eratosthenes fu uno degli esperimenti più importanti nell'antichità. La sua stima delle dimensioni della Terra era sorprendentemente accurata, soprattutto se si considera che aveva accesso solo a strumenti di misurazione molto basilari.

Certo, può essere difficile tradurre i suoi risultati originali in unità moderne come chilometri. Nell'antica Grecia, la distanza era misurata in stadia (circa 160 m), ma non esisteva uno standard universale. Ogni area aveva una versione leggermente diversa e non sappiamo quale Eratostene usasse.

Nei secoli seguenti, gli scienziati hanno cercato di utilizzare altri metodi per calcolare il raggio della Terra - a volte con risultati molto diversi e errati.

Fu una di queste misurazioni errate che spinse Cristoforo Colombo a navigare verso ovest dal Portogallo. Presumeva che la Terra fosse molto più piccola di quanto non fosse in realtà, e sperava di raggiungere l'India. In effetti, arrivò in un altro continente in mezzo: le Americhe.

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