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Tiếng ViệtCerchi e PiSfere, coni e cilindri
Nelle sezioni precedenti, abbiamo studiato le proprietà dei cerchi su una superficie piana. Ma il nostro mondo è in realtà tridimensionale, quindi diamo un'occhiata ad alcuni solidi 3D basati su cerchi:
Un Un cilindro è un solido tridimensionale costituito da due lati paralleli, paralleli e circolari (le basi), uniti da una superficie curva. Potresti anche pensare a un cilindro come a un "prisma circolare".
Un Un conoè un solido tridimensionale che ha una base circolare unita a un singolo punto (chiamato vertice) da un lato curvo. Potresti anche pensare a un cono come a una "piramide circolare". Un cono destro è un cono con il suo vertice direttamente sopra il centro della sua base.
Ogni punto sulla superficie di una Una sfera è un solido tridimensionale costituito da tutti i punti che hanno la stessa distanza da un dato centro. Questa distanza è chiamata raggio della sfera.
Notare come la definizione di una sfera sia quasi uguale alla definizione di un
cilindri
Qui puoi vedere il gasometro cilindrico a Oberhausen, in Germania. Ha usato per immagazzinare il gas naturale che è stato usato come combustibile nelle fabbriche e nelle centrali elettriche vicine. Il gasometro è alto 120 metri e la sua base e il soffitto sono due grandi cerchi con un raggio di 35 metri. Esistono due domande importanti a cui gli ingegneri potrebbero voler rispondere:
- Quanto gas naturale può essere immagazzinato? Questo è il
??? del cilindro. - Quanto acciaio è necessario per costruire il gasometro? Questa è (approssimativamente) la
??? del cilindro.
Proviamo a trovare le formule per entrambi questi risultati!
Gasometro Oberhausen
Volume di un cilindro
La parte superiore e inferiore di un cilindro sono due cerchi congruenti, chiamati basi . Il altezza h di un cilindro è la distanza perpendicolare tra queste basi e il il raggio r di un cilindro è semplicemente il raggio delle basi circolari.
Possiamo approssimare un cilindro usando a Un prisma è un solido tridimensionale che ha due facce congruenti che sono poligoni (chiamate basi), i cui vertici corrispondenti sono uniti da segmenti paralleli. Le facce rimanenti di un prisma sono tutti rettangoli o parallelogrammi.
Anche se tecnicamente un cilindro non è un prisma, condividono molte proprietà. In entrambi i casi, possiamo trovare il volume moltiplicando l'area del loro base con il loro altezza Ciò significa che un cilindro con raggio re altezza h ha volume
Ricorda che raggio e altezza devono usare le stesse unità. Ad esempio, se r e h sono entrambi in cm, il volume sarà in
Negli esempi sopra, le due basi del cilindro erano sempre direttamente una sopra l'altra : questo si chiama cilindro giusto . Se le basi non sono direttamente una sopra l'altra, abbiamo un cilindro obliquo . Le basi sono ancora parallele, ma i lati sembrano "sporgersi" con un angolo non di 90°.
La Torre Pendente di Pisa in Italia non è proprio un cilindro obliquo.
Il volume di un cilindro obliquo risulta essere esattamente uguale a quello di un cilindro destro con lo stesso raggio e altezza. Ciò è dovuto al Il Principio di Cavalieri afferma che se due solidi hanno la stessa altezza e la stessa area della sezione trasversale ad ogni livello, entrambi hanno lo stesso volume. Possiamo usare questo fatto per ricavare che il volume di prismi e cilindri è l'area della loro sezione trasversale moltiplicata per la loro altezza. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) era un matematico e monaco italiano. Ha sviluppato un precursore del calcolo infinitesimale ed è ricordato per il principio di Cavalieri, usato in geometria per trovare il volume dei solidi. Cavalieri lavorò anche in ottica e meccanica, introdusse i logaritmi in Italia e scambiò molte lettere con Galileo Galilei.
Immagina di tagliare un cilindro in molti dischi sottili. Possiamo quindi far scorrere questi dischi in orizzontale per ottenere un cilindro obliquo. Il volume dei singoli dischi non cambia quando lo rendi obliquo, quindi anche il volume totale rimane costante:
Superficie di un cilindro
Per trovare la superficie di un cilindro, dobbiamo "srotolarlo" nella sua La rete di un poliedro è ciò che ottieni quando “spieghi” le sue facce poligonali su una superficie piana.
Ci sono due
- I due cerchi hanno ciascuno un'area
- L'altezza del rettangolo è
??? dei cerchi:
Ciò significa che la superficie totale di un cilindro con raggio r e altezza h è data da
I cilindri possono essere trovati ovunque nel nostro mondo - dalle lattine di soda alla carta igienica o alle tubature dell'acqua. Riesci a pensare ad altri esempi?
Il Gasometro sopra aveva un raggio di 35 me un'altezza di 120 m. Ora possiamo calcolare che il suo volume è di circa
coni
Un Un conoè un solido tridimensionale che ha una base circolare unita a un singolo punto (chiamato vertice) da un lato curvo. Potresti anche pensare a un cono come a una "piramide circolare". Un cono destro è un cono con il suo vertice direttamente sopra il centro della sua base.
Il il raggio del cono è il raggio della base circolare e il l'altezza del cono è la distanza perpendicolare dalla base al vertice.
Proprio come altre forme che abbiamo incontrato prima, i coni sono ovunque intorno a noi: coni gelato, coni di traffico, alcuni tetti e persino alberi di Natale. Cos'altro puoi pensare?
Volume di un cono
In precedenza avevamo trovato il volume di un cilindro approssimandolo con un prisma. Allo stesso modo, possiamo trovare il volume di un cono approssimandolo con una Una piramide è un poliedro che ha un poligono come base e facce triangolari attorno all'esterno, che si assottigliano verso un vertice. In una piramide regolare a destra, la base è un poligono regolare e il vertice è direttamente sopra il centro della base.
Qui puoi vedere a
Questo significa anche che possiamo anche usare l'equazione per il volume:
Notare la somiglianza con l'equazione per il volume di un cilindro. Immagina di disegnare un cilindro attorno al cono, con la stessa base e altezza - questo è chiamato cilindro circoscritto . Ora, il cono occuperà esattamente
Nota: si potrebbe pensare che infinitamente molti piccoli lati come approssimazione siano un po '"imprecisi". I matematici hanno trascorso molto tempo a cercare un modo più semplice per calcolare il volume di un cono. Nel 1900, il grande matematico David Hilbert (1862-1943) fu uno dei matematici più influenti del XX secolo. Ha lavorato su quasi ogni area della matematica ed era particolarmente interessato a costruire una base formale e logica per la matematica. Hilbert ha lavorato a Gottinga (Germania), dove ha insegnato a numerosi studenti che in seguito sono diventati famosi matematici. Durante il Congresso internazionale dei matematici del 1900, presentò un elenco di 23 problemi irrisolti. Questi hanno aperto la strada alla ricerca futura - e quattro di loro sono tuttora irrisolti!
Proprio come un cilindro, un cono non deve essere "dritto". Se il vertice è direttamente sopra il centro della base, abbiamo un cono destro . Altrimenti, lo chiamiamo un cono obliquo .
Ancora una volta, possiamo usare il principio di Cavalieri per dimostrare che tutti i coni obliqui hanno lo stesso volume, purché abbiano la stessa base e altezza.
Superficie di un cono
Trovare la superficie di un cono è un po 'più complicato. Come prima, possiamo svelare un cono nella sua rete. Sposta il cursore per vedere cosa succede: in questo caso, otteniamo un settore cerchio e un
Ora non ci resta che sommare l'area di entrambi questi componenti. Il la base è un cerchio con raggio r , quindi la sua area è
Il raggio di settore è uguale alla distanza dal bordo di un cono al suo vertice. Questo si chiama il altezza inclinata s del cono e non uguale alla normale altezza h . Possiamo trovare l'altezza inclinata usando Il teorema di Pitagora afferma che in ogni triangolo rettangolo,
+ × π | ||
+ × |
Il la lunghezza dell'arco del settore è la stessa della Un settore di un cerchio è una parte del suo interno, delimitato da due raggi e un arco. La sua area è proporzionale all'angolo interno, nonché alla lunghezza dell'arco. Ciò significa che 
+ − × ÷ π |
Infine, non ci resta che aggiungere l'area del base e l'area del settore , per ottenere la superficie totale sono del cono:
sfere
Una Una sfera è un solido tridimensionale costituito da tutti i punti che hanno la stessa distanza da un dato centro. Questa distanza è chiamata raggio della sfera.
Puoi pensare a una sfera come a un " Un cerchio è l'insieme di tutti i punti in due dimensioni, a una distanza fissa (il raggio) da un dato punto (il centro).
In una sezione precedente , hai imparato come il matematico greco Eratostene di Cirene (276-195 a.C. circa) era un matematico, geografo, astronomo, storico e poeta greco. Trascorse gran parte della sua vita in Egitto, come capo della biblioteca di Alessandria. Tra le molte altre conquiste, Eratostene calcolò la circonferenza della Terra, misurò l'inclinazione dell'asse di rotazione terrestre, stimò la distanza dal sole e creò alcune delle prime mappe del mondo. Ha anche inventato il "crivello di Eratostene", un modo efficace per calcolare i numeri primi.
Volume di una sfera
Per trovare il volume di una sfera, dobbiamo ancora una volta usare il Principio di Cavalieri. Cominciamo con un emisfero - una sfera tagliata a metà lungo l'equatore. Abbiamo anche bisogno di un cilindro con lo stesso raggio e altezza dell'emisfero, ma con un cono invertito "tagliato" nel mezzo.
Mentre sposti il cursore in basso, puoi vedere la sezione trasversale di entrambe queste forme ad un'altezza specifica sopra la base:
Proviamo a trovare l'area della sezione trasversale di entrambi questi solidi, a distanza altezza h sopra la base.
La sezione trasversale dell'emisfero è sempre un
Il il raggio x della sezione trasversale fa parte di a triangolo rettangolo , in modo da poter usare Il teorema di Pitagora afferma che in ogni triangolo rettangolo,
Ora, l'area della sezione trasversale è
| A | = | + − × ÷ π |
La sezione trasversale del cilindro ritagliato è sempre un
Il raggio del foro è h . Possiamo trovare l'area dell'anello sottraendo l'area del buco dall'area del cerchio più grande:
| A | = | |
| = |
Sembra che entrambi i solidi abbiano la stessa area della sezione trasversale ad ogni livello. Secondo il Principio di Cavalieri, entrambi i solidi devono avere lo stesso Il volume di un cilindro è dato dall'equazione dove r è il raggio della base circolare e h è l'altezza del cilindro (la distanza perpendicolare tra le due basi). Il volume di un cono è dato dall'equazione dove r è il raggio della base circolare e h è l'altezza del cono (la distanza perpendicolare dalla base al vertice).
| = | ||
| = | + − × ÷ π |
Una sfera è composta da
La Terra è (approssimativamente) una sfera con un raggio di 6.371 km. Pertanto il suo volume è
+ − × ÷ π | ||
| 1 |
La densità media della Terra è
Questo è un 6 seguito da 24 zeri!
Se si confrontano le equazioni per il volume di un cilindro, un cono e una sfera, è possibile notare una delle relazioni più soddisfacenti in geometria. Immagina di avere un cilindro con la stessa altezza del diametro della sua base. Ora possiamo adattare perfettamente sia un cono che una sfera al suo interno:
Questo cono ha raggio
Questa sfera ha raggio
Questo cilindro ha raggio
Nota come, se
Superficie di una sfera
Trovare una formula per la superficie di una sfera è molto difficile. Uno dei motivi è che non possiamo aprire e "appiattire" la superficie di una sfera, come abbiamo fatto prima per coni e cilindri.
Questo è un problema particolare quando si tenta di creare mappe. La Terra ha una superficie curva, tridimensionale, ma ogni mappa stampata deve essere piatta e bidimensionale. Ciò significa che i geografi devono imbrogliare: allungando o schiacciando determinate aree.
Qui puoi vedere alcuni diversi tipi di mappe, chiamate proiezioni . Prova a spostare il quadrato rosso e osserva come appare realmente quest'area su un globo:
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
Per trovare la superficie di una sfera, possiamo ancora una volta approssimarla usando una forma diversa, ad esempio un poliedro con molte facce. All'aumentare del numero di facce, il poliedro inizia ad apparire sempre più come una sfera.
IN ARRIVO: Sfera a prova di area superficiale