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Cerchi e PiSfere, coni e cilindri

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Nelle sezioni precedenti, abbiamo studiato le proprietà dei cerchi su una superficie piana. Ma il nostro mondo è in realtà tridimensionale, quindi diamo un'occhiata ad alcuni solidi 3D basati su cerchi:

Un cilindro è costituito da due cerchi paralleli congruenti uniti da una superficie curva.

Un cono ha una base circolare che è unita a un singolo punto (chiamato vertice).

Ogni punto sulla superficie di una sfera ha la stessa distanza dal suo centro.

Notare come la definizione di una sfera sia quasi uguale alla definizione di un - tranne in tre dimensioni!

cilindri

Qui puoi vedere il gasometro cilindrico a Oberhausen, in Germania. Ha usato per immagazzinare il gas naturale che è stato usato come combustibile nelle fabbriche e nelle centrali elettriche vicine. Il gasometro è alto 120 metri e la sua base e il soffitto sono due grandi cerchi con un raggio di 35 metri. Esistono due domande importanti a cui gli ingegneri potrebbero voler rispondere:

  • Quanto gas naturale può essere immagazzinato? Questo è il del cilindro.
  • Quanto acciaio è necessario per costruire il gasometro? Questa è (approssimativamente) la del cilindro.

Proviamo a trovare le formule per entrambi questi risultati!

Gasometro Oberhausen

Volume di un cilindro

La parte superiore e inferiore di un cilindro sono due cerchi congruenti, chiamati basi . Il altezza h di un cilindro è la distanza perpendicolare tra queste basi e il il raggio r di un cilindro è semplicemente il raggio delle basi circolari.

Possiamo approssimare un cilindro usando a ${n} prisma laterale. All'aumentare del numero di lati, il prisma inizia ad apparire sempre più come un cilindro:

Anche se tecnicamente un cilindro non è un prisma, condividono molte proprietà. In entrambi i casi, possiamo trovare il volume moltiplicando l'area del loro base con il loro altezza Ciò significa che un cilindro con raggio re altezza h ha volume

V=

Ricorda che raggio e altezza devono usare le stesse unità. Ad esempio, se r e h sono entrambi in cm, il volume sarà in .

Negli esempi sopra, le due basi del cilindro erano sempre direttamente una sopra l'altra : questo si chiama cilindro giusto . Se le basi non sono direttamente una sopra l'altra, abbiamo un cilindro obliquo . Le basi sono ancora parallele, ma i lati sembrano "sporgersi" con un angolo non di 90°.

La Torre Pendente di Pisa in Italia non è proprio un cilindro obliquo.

Il volume di un cilindro obliquo risulta essere esattamente uguale a quello di un cilindro destro con lo stesso raggio e altezza. Ciò è dovuto al Principio di Cavalieri , dal nome del matematico italiano Bonaventura Cavalieri : se due solidi hanno la stessa area della sezione trasversale ad ogni altezza, allora avranno lo stesso volume.

Immagina di tagliare un cilindro in molti dischi sottili. Possiamo quindi far scorrere questi dischi in orizzontale per ottenere un cilindro obliquo. Il volume dei singoli dischi non cambia quando lo rendi obliquo, quindi anche il volume totale rimane costante:

Superficie di un cilindro

Per trovare la superficie di un cilindro, dobbiamo "srotolarlo" nella sua rete piatta. Puoi provarlo tu stesso, ad esempio staccando l'etichetta da una lattina di cibo.

Ci sono due , uno nella parte superiore e uno nella parte inferiore del cilindro. Il lato curvo è in realtà un grande .

  • I due cerchi hanno ciascuno un'area .
  • L'altezza del rettangolo è e la larghezza del rettangolo è la stessa della dei cerchi: .

Ciò significa che la superficie totale di un cilindro con raggio r e altezza h è data da

A= .

I cilindri possono essere trovati ovunque nel nostro mondo - dalle lattine di soda alla carta igienica o alle tubature dell'acqua. Riesci a pensare ad altri esempi?

Il Gasometro sopra aveva un raggio di 35 me un'altezza di 120 m. Ora possiamo calcolare che il suo volume è di circa m3 e la sua superficie è di circa m2 .

coni

Un cono è un solido tridimensionale che ha una circolare base . Il suo lato "si assottiglia verso l'alto", come mostrato nel diagramma, e termina in un unico punto chiamato il vertice .

Il il raggio del cono è il raggio della base circolare e il l'altezza del cono è la distanza perpendicolare dalla base al vertice.

Proprio come altre forme che abbiamo incontrato prima, i coni sono ovunque intorno a noi: coni gelato, coni di traffico, alcuni tetti e persino alberi di Natale. Cos'altro puoi pensare?

Volume di un cono

In precedenza avevamo trovato il volume di un cilindro approssimandolo con un prisma. Allo stesso modo, possiamo trovare il volume di un cono approssimandolo con una piramide .

Qui puoi vedere a ${n} piramide a lato. All'aumentare del numero di lati, la piramide inizia ad apparire sempre più come un cono. In effetti, potremmo pensare a un cono come a una piramide con infiniti lati!

Questo significa anche che possiamo anche usare l'equazione per il volume: V=13base×height . La base di un cono è un cerchio, quindi il volume di un cono con raggio r e altezza h lo è

V=

Notare la somiglianza con l'equazione per il volume di un cilindro. Immagina di disegnare un cilindro attorno al cono, con la stessa base e altezza - questo è chiamato cilindro circoscritto . Ora, il cono occuperà esattamente del volume del cilindro:

Nota: si potrebbe pensare che infinitamente molti piccoli lati come approssimazione siano un po '"imprecisi". I matematici hanno trascorso molto tempo a cercare un modo più semplice per calcolare il volume di un cono. Nel 1900, il grande matematico David Hilbert lo nominò addirittura come uno dei 23 problemi irrisolti più importanti in matematica! Oggi sappiamo che in realtà è impossibile.

Proprio come un cilindro, un cono non deve essere "dritto". Se il vertice è direttamente sopra il centro della base, abbiamo un cono destro . Altrimenti, lo chiamiamo un cono obliquo .

Ancora una volta, possiamo usare il principio di Cavalieri per dimostrare che tutti i coni obliqui hanno lo stesso volume, purché abbiano la stessa base e altezza.

Superficie di un cono

Trovare la superficie di un cono è un po 'più complicato. Come prima, possiamo svelare un cono nella sua rete. Sposta il cursore per vedere cosa succede: in questo caso, otteniamo un settore cerchio e un .

Ora non ci resta che sommare l'area di entrambi questi componenti. Il la base è un cerchio con raggio r , quindi la sua area è

ABase= .

Il raggio di settore è uguale alla distanza dal bordo di un cono al suo vertice. Questo si chiama il altezza inclinata s del cono e non uguale alla normale altezza h . Possiamo trovare l'altezza inclinata usando Pitagora :

s2=
s=

Il la lunghezza dell'arco del settore è la stessa della del base : 2πr . Ora possiamo trovare l'area del settore usando la formula che abbiamo derivato in una sezione precedente:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Infine, non ci resta che aggiungere l'area del base e l'area del settore , per ottenere la superficie totale sono del cono:

A=

sfere

Una sfera è un solido tridimensionale costituito da tutti i punti che hanno la stessa distanza da un dato centro C. Questa distanza è chiamata raggio r della sfera.

Puoi pensare a una sfera come a un " cerchio tridimensionale". Proprio come un cerchio, anche una sfera ha un diametro d , che è della lunghezza del raggio, nonché accordi e secanti.

In una sezione precedente , hai imparato come il matematico greco Eratosthenes ha calcolato il raggio della Terra usando l'ombra di un palo: erano 6.371 km. Ora proviamo a trovare il volume totale e la superficie della Terra.

Volume di una sfera

Per trovare il volume di una sfera, dobbiamo ancora una volta usare il Principio di Cavalieri. Cominciamo con un emisfero - una sfera tagliata a metà lungo l'equatore. Abbiamo anche bisogno di un cilindro con lo stesso raggio e altezza dell'emisfero, ma con un cono invertito "tagliato" nel mezzo.

Mentre sposti il cursore in basso, puoi vedere la sezione trasversale di entrambe queste forme ad un'altezza specifica sopra la base:

Proviamo a trovare l'area della sezione trasversale di entrambi questi solidi, a distanza altezza h sopra la base.

La sezione trasversale dell'emisfero è sempre un .

Il il raggio x della sezione trasversale fa parte di a triangolo rettangolo , in modo da poter usare Pitagora :

r2=h2+x2 .

Ora, l'area della sezione trasversale è

A=

La sezione trasversale del cilindro ritagliato è sempre un

Il raggio del foro è h . Possiamo trovare l'area dell'anello sottraendo l'area del buco dall'area del cerchio più grande:

A=πr2πh2
=πr2h2

Sembra che entrambi i solidi abbiano la stessa area della sezione trasversale ad ogni livello. Secondo il Principio di Cavalieri, entrambi i solidi devono avere lo stesso ! Possiamo trovare il volume dell'emisfero sottraendo il volume del cilindro e il volume del cono :

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Una sfera è composta da emisferi, il che significa che deve essere il suo volume

V=43πr3 .

La Terra è (approssimativamente) una sfera con un raggio di 6.371  km. Pertanto il suo volume è

V=
= 1 km3

La densità media della Terra è 5510kg/m3 . Ciò significa che la sua massa totale è

Mass=Volume×Density6×1024kg

Questo è un 6 seguito da 24 zeri!

Se si confrontano le equazioni per il volume di un cilindro, un cono e una sfera, è possibile notare una delle relazioni più soddisfacenti in geometria. Immagina di avere un cilindro con la stessa altezza del diametro della sua base. Ora possiamo adattare perfettamente sia un cono che una sfera al suo interno:

+

Questo cono ha raggio r e altezza 2r . Il suo volume è

=

Questa sfera ha raggio r . Il suo volume è

Questo cilindro ha raggio r e altezza 2r . Il suo volume è

Nota come, se il volume del cono e della sfera, otteniamo esattamente il volume del cilindro!

Superficie di una sfera

Trovare una formula per la superficie di una sfera è molto difficile. Uno dei motivi è che non possiamo aprire e "appiattire" la superficie di una sfera, come abbiamo fatto prima per coni e cilindri.

Questo è un problema particolare quando si tenta di creare mappe. La Terra ha una superficie curva, tridimensionale, ma ogni mappa stampata deve essere piatta e bidimensionale. Ciò significa che i geografi devono imbrogliare: allungando o schiacciando determinate aree.

Qui puoi vedere alcuni diversi tipi di mappe, chiamate proiezioni . Prova a spostare il quadrato rosso e osserva come appare realmente quest'area su un globo:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Per trovare la superficie di una sfera, possiamo ancora una volta approssimarla usando una forma diversa, ad esempio un poliedro con molte facce. All'aumentare del numero di facce, il poliedro inizia ad apparire sempre più come una sfera.

IN ARRIVO: Sfera a prova di area superficiale

Archie