Cerchi e PiSfere, coni e cilindri

Nelle sezioni precedenti, abbiamo studiato le proprietà dei cerchi su una superficie piana. Ma il nostro mondo è in realtà tridimensionale, quindi diamo un'occhiata ad alcuni solidi 3D basati su cerchi:

Notare come la definizione di una sfera sia quasi uguale alla definizione di un cerchio raggio cubo - tranne in tre dimensioni!

cilindri

Volume di un cilindro

La parte superiore e inferiore di un cilindro sono due cerchi congruenti, chiamati basi . Il altezza h di un cilindro è la distanza perpendicolare tra queste basi e il il raggio r di un cilindro è semplicemente il raggio delle basi circolari.

Possiamo approssimare un cilindro usando a ${n} prisma laterale. All'aumentare del numero di lati, il prisma inizia ad apparire sempre più come un cilindro:

Anche se tecnicamente un cilindro non è un prisma, condividono molte proprietà. In entrambi i casi, possiamo trovare il volume moltiplicando l'area del loro base con il loro altezza Ciò significa che un cilindro con raggio re altezza h ha volume

V=

Ricorda che raggio e altezza devono usare le stesse unità. Ad esempio, se r e h sono entrambi in cm, il volume sarà in cm3cm2 cm .

Il volume di un cilindro obliquo risulta essere esattamente uguale a quello di un cilindro destro con lo stesso raggio e altezza. Ciò è dovuto al Principio di Cavalieri , dal nome del matematico italiano Bonaventura Cavalieri : se due solidi hanno la stessa area della sezione trasversale ad ogni altezza, allora avranno lo stesso volume.

Immagina di tagliare un cilindro in molti dischi sottili. Possiamo quindi far scorrere questi dischi in orizzontale per ottenere un cilindro obliquo. Il volume dei singoli dischi non cambia quando lo rendi obliquo, quindi anche il volume totale rimane costante:

Superficie di un cilindro

Ciò significa che la superficie totale di un cilindro con raggio r e altezza h è data da

A= .

I cilindri possono essere trovati ovunque nel nostro mondo - dalle lattine di soda alla carta igienica o alle tubature dell'acqua. Riesci a pensare ad altri esempi?

Il Gasometro sopra aveva un raggio di 35 me un'altezza di 120 m. Ora possiamo calcolare che il suo volume è di circa m3 e la sua superficie è di circa m2 .

coni

Volume di un cono

Questo significa anche che possiamo anche usare l'equazione per il volume: V=13base×height . La base di un cono è un cerchio, quindi il volume di un cono con raggio r e altezza h lo è

V=

Notare la somiglianza con l'equazione per il volume di un cilindro. Immagina di disegnare un cilindro attorno al cono, con la stessa base e altezza - questo è chiamato cilindro circoscritto . Ora, il cono occuperà esattamente un terzo metà un quarto del volume del cilindro:

Nota: si potrebbe pensare che infinitamente molti piccoli lati come approssimazione siano un po '"imprecisi". I matematici hanno trascorso molto tempo a cercare un modo più semplice per calcolare il volume di un cono. Nel 1900, il grande matematico David Hilbert lo nominò addirittura come uno dei 23 problemi irrisolti più importanti in matematica! Oggi sappiamo che in realtà è impossibile.

Superficie di un cono

Infine, non ci resta che aggiungere l'area del base e l'area del settore , per ottenere la superficie totale sono del cono:

A=

sfere

In una sezione precedente , hai imparato come il matematico greco Eratosthenes ha calcolato il raggio della Terra usando l'ombra di un palo: erano 6.371 km. Ora proviamo a trovare il volume totale e la superficie della Terra. Continua

Volume di una sfera

Per trovare il volume di una sfera, dobbiamo ancora una volta usare il Principio di Cavalieri. Cominciamo con un emisfero - una sfera tagliata a metà lungo l'equatore. Abbiamo anche bisogno di un cilindro con lo stesso raggio e altezza dell'emisfero, ma con un cono invertito "tagliato" nel mezzo.

Mentre sposti il cursore in basso, puoi vedere la sezione trasversale di entrambe queste forme ad un'altezza specifica sopra la base:

Proviamo a trovare l'area della sezione trasversale di entrambi questi solidi, a distanza altezza h sopra la base.

Sembra che entrambi i solidi abbiano la stessa area della sezione trasversale ad ogni livello. Secondo il Principio di Cavalieri, entrambi i solidi devono avere lo stesso volume superficie circonferenza ! Possiamo trovare il volume dell'emisfero sottraendo il volume del cilindro e il volume del cono :

Una sfera è composta da emisferi, il che significa che deve essere il suo volume

V=43πr3 .

Se si confrontano le equazioni per il volume di un cilindro, un cono e una sfera, è possibile notare una delle relazioni più soddisfacenti in geometria. Immagina di avere un cilindro con la stessa altezza del diametro della sua base. Ora possiamo adattare perfettamente sia un cono che una sfera al suo interno:

Nota come, se sommiamo sottrarre moltiplica il volume del cono e della sfera, otteniamo esattamente il volume del cilindro!

Superficie di una sfera

Trovare una formula per la superficie di una sfera è molto difficile. Uno dei motivi è che non possiamo aprire e "appiattire" la superficie di una sfera, come abbiamo fatto prima per coni e cilindri.

Questo è un problema particolare quando si tenta di creare mappe. La Terra ha una superficie curva, tridimensionale, ma ogni mappa stampata deve essere piatta e bidimensionale. Ciò significa che i geografi devono imbrogliare: allungando o schiacciando determinate aree.

Qui puoi vedere alcuni diversi tipi di mappe, chiamate proiezioni . Prova a spostare il quadrato rosso e osserva come appare realmente quest'area su un globo:

Per trovare la superficie di una sfera, possiamo ancora una volta approssimarla usando una forma diversa, ad esempio un poliedro con molte facce. All'aumentare del numero di facce, il poliedro inizia ad apparire sempre più come una sfera.

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