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Poligoni e poliedriPoligoni

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Un poligono è una figura piana chiusa i cui lati sono dei segmenti. Un poligono può avere un numero arbitrario di lati e angoli, ma i lati non possono essere curvi. Quale delle seguenti figure è un poligono?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Il nome dei poligoni dipende dal numero dei suoi lati:

number-3

Triangolo
3 lati

number-4

Quadrilatero
4 lati

number-5

Pentagono
5 lati

number-6

Esagono
6 lati

number-7

Ettagono
7 lati

number-8

Ottagono
8 lati

Angoli nei poligoni

Ogni poligono con n lati possiede anche n angoli interni. Sappiamo già che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre ° , ma per gli altri poligoni?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}°  = 

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}°  = 

Sembrerebbe che la somma degli angoli interni di un quadrilater sia sempre ° – esattamente della somma degli angoli in un triangolo. Non è una coincidenza: ogni quadrilatero può essere diviso in due triangoli.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

Lo stesso vale per poligoni con più lati. Possiamo suddividere un pentagono in triangoli, quindi la somma dei suoi angoli interni sarà: 3×180°= °. E possiamo suddividere un esagono in triangoli, quindi la somma dei suoi angoli interni sarà: 4×180°= °.

Per un poligono con ${x} lati la somma degli angoli interni sarà: 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Più in generale, un poligono con n lati può essere suddiviso in triangoli. Dunque:

Somma degli angoli interni in un poligono di n lati =n2×180°.

Poligoni convessi e concavi

Diciamo che un poligono è concavo se ha un vertice che “rientra”. Puoi immaginare che questa parte sia stata “scavata”. I poligoni che non sono concavi si dicono convessi.

Ci sono due modi di identificare facilmente i poligoni concavi: possiedono almeno un angolo interno che è maggiore di 180°. Hanno anche almeno una diagonale che giace all'esterno del poligono.

Nei poligoni convessi, d'altro canto, tutti gli angoli interni sono minori di °, e tutte le diagonali giacciono del poligono.

Quale di questi poligoni è concavo?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Poligoni regolari

Diciamo che un poligono è regolare se tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza e tutti i suoi angoli hanno la stessa ampiezza. Quali di queste figure sono poligoni regolari?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

I poligoni regolari possono avere dimensioni diverse – ma tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati !

Conosciamo già la somma di tutti gli angoli interni di un poligono. Per i poligoni regolari tutti questi angoli , possiamo così calcolare l'ampiezza di un singolo angolo interno:

angolo = = 180°×x2x=180°360°x.

Se n=3 troviamo l'ampiezza dell'angolo interno di un triangolo equilatero – sappiamo già che dev'essere °. In un poligono regolare con ${x} lati, ogni angolo interno misura: 180° – 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

L'area di un poligono regolare

Qui puoi vedere un poligono regolare con ${n} lati. Ogni lato misura 1m. Proviamo a calcolarne l'area!

Prima di tutto, possiamo dividere il poligono in ${n} , triangoli congruenti.

Conosciamo già la di questi triangoli, ma ci serve anche per poterne calcolare l'area. Nei poligoni regolari, questa altezza si chiama apotema.

Nota che l'apotema e la metà della base di ogni triangolo isoscele sono i cateti di un triangolo rettangolo Possiamo quindi utilizzare la trigonometria!

gli angoli alla base del triangolo isoscele (chiamiamoli α) misurano un angolo interno del poligono:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Per trovare l'apotema, possiamo usare la definizione di :

tanα=cateto oppostocateto adiacente=

apotema=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Allora, l'area del triangolo isoscele vale:

12base×altezza=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Il poligono è formato da ${n} triangoli isosceli, che hanno tutti la stessa area. Perciò, l'area totale del poligono sarà:

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2