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Poligoni e poliedriTassellazioni

Momento della lettura: ~25 min

I poligoni appaiono ovunque nel mondo che ci circonda. Sono particolarmente utili per piastrellare una grande superficie, perché talvolta li si possono accostare senza spazi o sovrapposizioni. Queste strutture sono chiamate tassellazioni.

Alveare

Pelle del serpente del latte

Struttura cellulare delle foglie

Colonne di basalto sul Selciato del Gigante in Irlanda del Nord.

Buccia d'ananas

Guscio di una tartaruga

Gli esseri umani hanno copiato molte di queste strutture presenti in natura nell'arte, in architettura e in tecnologia – dall'antica Roma fino ad oggi. Ecco qualche esempio:

Piastrellatura

Serra al Progetto Eden in Inghilterra

Mosaico all'Alhambra

Tetto al British Museum di Londra

Padiglione con tassellazione cellulare a Sydney

Studio della divisione rettangolare del piano con rettili, M. C. Escher

Qui puoi creare la tua propria tassellazione usando dei poligoni regolari. Trascina le nuove forme dalla barra laterale sulla tela. Quali forme funzionano bene? Quali non funzionano? Prova a creare strutture interessanti!

Examples of other students’ tessellations

Tassellazioni con poligoni regolari

Avrai notato che con alcuni poligoni regolari (ad esempio con i ) si può ricoprire molto facilmente una superficie, mentre con altri (come ) non sembra possibile.

Questo ha a che vedere con l'ampiezza dei loro angoli interni, che abbiamo imparato a calcolare prima. In ogni vertice della tassellazione, gli angoli interni di più poligoni sono accostati. La somma di tutti questi angoli dev'essere °, altrimenti avremo un buco o una sovrapposizione.

triangles

I triangoli il piano perché 6 × 60° = 360°.

squares

I quadrati il piano, poiché 4 × 90° = 360°.

pentagons

I pentagoni il piano, perché nessun multiplo di 108° corrisponde a 360°.

hexagons

Gli esagoni il piano, perché 3 × 120° = 360°.

In modo analogo, si può verificare che, come il pentagono, ogni poligono regolare con 7 lati o più non può tassellare il piano. Questo significa che gli unici poligoni regolari che producuno delle tassellazioni sono i triangoli, i quadrati e gli esagoni!

Naturalmente si possono combinare diversi tipi di poligoni regolari in una tassellazione, a condizione che la somma dei loro angoli interni sia 360°:

Quadrati e triangoli
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Quadrati e triangoli
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Esagoni e triangoli
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Esagoni e triangoli
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Esagoni, quadrati e triangoli
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Ottagoni e quadrati
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagoni e triangoli
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagoni, esagoni e quadrati
150° + 120° + 90° = 360°

Tassellazioni con poligoni irregolari

Possiamo anche provare a creare delle tassellazioni con poligoni irregolari – basta ruotarli e disporli con cura.

Scopriamo così che non funzionano solo le tassellazioni con i triangoli equilateri, bensì con ogni triangol! Prova a spostare vertici in questo diagramma.

La somma degli angoli interni di un tiangolo è °. Se usiamo ogni angolo in ogni vertice della tassellazione, otteniamo 360°:

Sorprendentemente, ogni quadrilatero può tassellare il piano! La somma dei suoi angoli interni è °, quindi se usiamo ogni angolo in ogni vertice della tassellazione, otteniamo 360°.

Con i pentagoni è un po' più difficile. Abbiamo già visto che i pentagoni regolari il piano, ma cosa possiamo dire di quelli irregolari?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

Ecco qui tre esempi diversi di tassellazioni con pentagoni. Non sono regolari, ma sono poligoni di 5 lati perfettamente legittimi.

Sinora, i matematici hanno trovato solo 15 diversi tipi di tassellazioni con pentagoni (convessi) – la più recenti delle quali è stata scoperta nel 2015. Nessuno sa se ce ne sono altre, o se queste 15 sono le uniche…

Tassellazioni nell'arte

Le tassellazioni sono servite da strumento e ispirazione per molti artisti, architetti e designers – in particolare all'artista olandese M. C. Escher. Il lavoro di Escher contiene creature curiose e mutanti, schemi e paesaggi:

“Cielo e acqua I” (1938)

“Lucertole” (1942)

“Lucertola, Pesce, Pipistrello” (1952)

“Farfalla” (1948)

“Due pesci” (1942)

“Conchiglie e Stelle marine” (1941)

Queste opere spesso sembrano divertenti e prodotte con naturalezza, ma i principi matematici su cui si basano sono gli stessi di prima: angoli, rotazioni, traslazioni e poligoni. Se i conti non tornano, la tassellazione non funzionerà!

“Metamorfosi II” di M. C. Escher (1940)

Tassellazioni di Penrose

Tutte le tassellazioni che abbiamo visto sinora hanno una cosa in comune: sono periodiche. Ciò significa che consistono in uno schema regolare che è ripetuto ancora e ancora. Possono estendersi all'infinito, in ogni direzione, e appariranno uguali ovunque.

Negli anni'70, il matematico e fisico britannico Roger Penrose scoprì le tassellazioni non-periodiche – che si estendono sì all'infinito in ogni direzione, ma non appaiono mai esattamente uguali. Qeste tassellazioni si chiamano tassellature di Penrose, e servono solo un pochi tipi di poligoni diversi per crearne una:

Sposta il cursore per far apparire la struttura sottostante di questa tassellazione. Nota come le stesse strutture appaiono in dimensioni diverse: i piccoli pentagoni arancioni, le stelle blu, i rombi viola e le ‘barchette’ verdi appaiono nella loro dimensione originale, leggermente più grandi e ancora più grandi. Questa auto-similarità può essere usata per dimostrare che la tassellatura di Penrose non è periodica.

Penrose studiava le tassellazioni per puro divertimento, ma si da il caso che la struttura interna di alcuni materiali (come l'alluminio) seguano una struttura di questo tipo. La struttura è stata usata persino sulla carta igienica, perché i fabbricanti hanno notato che una struttura non periodica può essere arrotolata senza rigonfiamenti.