Poligoni e poliedriSolidi platonici

All'inizio di questo corso abbiamo definito i poligoni regolari come poligoni particolarmente “simmetrici”, in cui tutti i lati e gli angoli sono congruenti. Possiamo fare qualcosa di analogo con i poliedri.

In un poliedro regolare tutte le facce sono lo stesso tipo di poligono regolare, e lo stesso numero di facce si incontra in ogni vertice. I poliedri con queste due proprietà si dicono solidi platonici, in onore del filosofo greco Platone.

Allora, come sono fatti i solidi platonici – e quanti ce ne sono? per creare un solido, abbiamo bisogno che almeno facce si incontrino in ogni vertice. Cominciamo con ordine con il più piccolo poligono regolare: il triangolo equilatero:

E nemmeno sette o più triangoli che si incontrano in ogni vertice possono produrre un nuovo poliedro: non c'è abbastanza spazio attorno ad ogni vertice, per accostare così tanti triangoli.

Questo significa che abbiamo trovato solidi platonici delimitati da triangoli. Passiamo al prossimo poligono regolare: il quadrato.

Proviamo ora con il pentagono regolare:

Se pentagoni si incontrano in ogni vertice, otteniamo il dodecaedro. Ha facce. (“dodeca” significa “dodici” in greco.)

Il prossimo poligono regolare con cui provare è l'esagono:

Se tre esagoni si incontrano in ogni vertice, otteniamo immediatamente una tassellazioneun poliedroun esaedro. Dato che non c'è spazio per più di tre esagoni, sembrerebbe che non ci siano solidi platonici formati da esagoni.

Lo stesso vale per tutti i poligoni regolari con più di sei lati. Non possono formare una tassellazione, e certamente non possono formare un poligono tridimensionale.

Questo significa che ci sono solo solidi platonici! Osserviamoli insieme:

Osserva come il numero di facce e di vertici è scambiatolo stesso per il cubo e l'ottaedro, e per il dodecaetro e l'icosaedro, mentre il numero di spigoli rimane ugualeè diverso. Queste coppie di solidi platonici sono chiamate solidi duali.

Possiamo trasformare un poliedro nel suo poliedro duale, “rimpiazzando” ogni faccia con un vertice, e ogni vertice con una faccia. Queste animazioni mostrano come:

Il tetraedro è il duale di se stesso. Siccome ha lo stesso numero di facce e vertici, scambiarli non cambierebbe nulla.

Platone credeva che tutta la materia nell'universo fosse formata da quattro elementi: aria, terra, acqua e fuoco. Egli credeva che ogni elemento corrispondesse a uno dei solidi platonici, mentre il quinto rappresentava l'universo nella sua pienezza. Oggi sappiamo che gli elementi sono piÙ di 100 e sono formati da atomi sferici, non poliedri.

Immagini dal libro di Giovanni Keplero “Harmonices Mundi” (1619)

Solidi di archimede

I solidi platonici sono poliedri particolarmente importanti, ma ne esistono molti altri.

Anche i solidi di Archimede, ad esempio, devono essere composti da poligoni regolari, ma se ne possono utilizzare diversi tipi. Prendono il loro nome da un altro famoso matematico greco, Archimede di Siracusa, e ne esistono 13:

Applicazioni

Platone si sbagliava nel pensare che tutti gli elementi consistessero in solidi poatonici, ma i poliedri regolari hanno molte proprietà particolari grazie alle quali appaiono altrove in natura – e possiamo sfruttare queste proprieta nella scienza e nell'ingenieria.