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Poligoni e poliedriSolidi platonici

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All'inizio di questo corso abbiamo definito i poligoni regolari come poligoni particolarmente “simmetrici”, in cui tutti i lati e gli angoli sono congruenti. Possiamo fare qualcosa di analogo con i poliedri.

In un poliedro regolare tutte le facce sono lo stesso tipo di poligono regolare, e lo stesso numero di facce si incontra in ogni vertice. I poliedri con queste due proprietà si dicono solidi platonici, in onore del filosofo greco Platone.

Allora, come sono fatti i solidi platonici – e quanti ce ne sono? per creare un solido, abbiamo bisogno che almeno facce si incontrino in ogni vertice. Cominciamo con ordine con il più piccolo poligono regolare: il triangolo equilatero:

Se creiamo un poliedro in cui tre triangoli equilateri si incontrano in ogni vertice, otteniamo il solido a sinistra. È un tetraedro e ha facce. (“tetra” significa “quattro” in greco).

Se quattro triangoli equilateri si incontrano in ogni vertice, otteniamo un solido platonico diverso. È chiamato ottaedro e ha facce. (“octa” significa “otto” in greco. Come “ottagono” significa figura con 8 lati, “ottaedro” significa solido con 8 facce.)

Se triangoli si incontrano in ogni vertice, otteniamo l'icosaedro. Ha facce. (“icosa” significa “venti” in greco.)

Se triangoli si incontrano in ogni vertice, otteniamo un oggetto diverso: è , anziché un poliedro tridimensionale.

E nemmeno sette o più triangoli che si incontrano in ogni vertice possono produrre un nuovo poliedro: non c'è abbastanza spazio attorno ad ogni vertice, per accostare così tanti triangoli.

Questo significa che abbiamo trovato solidi platonici delimitati da triangoli. Passiamo al prossimo poligono regolare: il quadrato.

Se quadrati si incontrano in ogni vertice, otteniamo un cubo. Come un dado, ha facce. Il cubo a volte è anche chiamato esaedro, dal greco “hexa", che significa “sei”.

Se quadrati si incontrano in ogni vertice, otteniamo . E come prima, cinque o più quadrati attorno allo stesso vetice non funzioneranno.

Proviamo ora con il pentagono regolare:

Se pentagoni si incontrano in ogni vertice, otteniamo il dodecaedro. Ha facce. (“dodeca” significa “dodici” in greco.)

Come prima, quattro o più pentagoni perché non c'è abbastanza spazio.

Il prossimo poligono regolare con cui provare è l'esagono:

Se tre esagoni si incontrano in ogni vertice, otteniamo immediatamente . Dato che non c'è spazio per più di tre esagoni, sembrerebbe che non ci siano solidi platonici formati da esagoni.

Lo stesso vale per tutti i poligoni regolari con più di sei lati. Non possono formare una tassellazione, e certamente non possono formare un poligono tridimensionale.

Questo significa che ci sono solo solidi platonici! Osserviamoli insieme:

tetraedro

Faces
Vertices
Edges

cubo

facce
vertici
Edges

ottaedro

facce
vertici
spigoli

dodecaedro

facce
20 vertici
30 spigoli

icosaedro

facce
12 vertici
30 spigoli

Osserva come il numero di facce e di vertici è per il cubo e l'ottaedro, e per il dodecaetro e l'icosaedro, mentre il numero di spigoli . Queste coppie di solidi platonici sono chiamate solidi duali.

Possiamo trasformare un poliedro nel suo poliedro duale, “rimpiazzando” ogni faccia con un vertice, e ogni vertice con una faccia. Queste animazioni mostrano come:

Il tetraedro è il duale di se stesso. Siccome ha lo stesso numero di facce e vertici, scambiarli non cambierebbe nulla.

Platone credeva che tutta la materia nell'universo fosse formata da quattro elementi: aria, terra, acqua e fuoco. Egli credeva che ogni elemento corrispondesse a uno dei solidi platonici, mentre il quinto rappresentava l'universo nella sua pienezza. Oggi sappiamo che gli elementi sono piÙ di 100 e sono formati da atomi sferici, non poliedri.

Immagini dal libro di Giovanni Keplero “Harmonices Mundi” (1619)

Solidi di archimede

I solidi platonici sono poliedri particolarmente importanti, ma ne esistono molti altri.

Anche i solidi di Archimede, ad esempio, devono essere composti da poligoni regolari, ma se ne possono utilizzare diversi tipi. Prendono il loro nome da un altro famoso matematico greco, Archimede di Siracusa, e ne esistono 13:

Tetraedro troncato
8 facce, 12 vertici, 18 spigoli

Cubottaedro
14 facce, 12 vertici, 24 spigoli

Cubo troncato
14 facce, 24 vertici, 36 spigoli

Ottaedro troncato
14 facce, 24 vertici, 36 spigoli

Rombicubottaedro
26 facce, 24 vertici, 48 spigoli

Cubottaedro troncato
26 facce, 48 vertici, 72 spigoli

Cubo camuso
38 facce, 24 vertici, 60 spigoli

Icosidodecaedro
32 facce, 30 vertici, 60 spigoli

Dodecaedro troncato
32 facce, 60 vertici, 90 spigoli

Icosaedro troncato
32 facce, 60 vertici, 90 spigoli

Rhombicosidodecaedro
62 facce, 60 vertici, 120 spigoli

Icosidodecaedro troncato
62 facce, 120 vertici, 180 spigoli

Dodecaedro camuso
92 facce, 60 vertici, 150 spigoli

Applicazioni

Platone si sbagliava nel pensare che tutti gli elementi consistessero in solidi poatonici, ma i poliedri regolari hanno molte proprietà particolari grazie alle quali appaiono altrove in natura – e possiamo sfruttare queste proprieta nella scienza e nell'ingenieria.

Scheledro di radiolario

Virus icosaedrico

Molti virus, batteri e altri piccoli organismi hanno la forma di un icosaedro. I virus ad esempio, devono racchiudere il loro materiale genetico all'interno di un guscio formato da tante unità proteiche identiche. L'icosaedro è la soluzione più efficiente, perché è composto da pochi elementi regolari ma ha quasi la forma di una sfera.

Molecola di buckminsterfullerene

Biosfera di Montreal

Molte molecole hanno la forma di poliedri regolari. L'esempi più famoso è il C60 che consiste in 60 atomi di carbonio disposti a forma di icosaedro troncato.

È stata scoperta nel 1985 mentre gli scienziati ricercavano le polveri interstellari. La chiamarono “Buckyball” (o Buckminsterfullerene) in onore dell'architetto Buckminster Fuller, famoso per la costruzione di edifici con quella forma.

Ottaedro di fluorite

Cubo di pirite

La maggior parte dei cristalli hanno i loro atomi disposti in una griglia regolare composta da tetraedri, cubi o ottaedri. Quando si rompono o si fessurano, queste forma appaiono a più ampia scala.

Strutture reticolari

Museo del Louvre a Paris

I tetraedri e gli ottaedri sono incredibilmente rigidi e stabili, il che li rende molto utili nelle construzioni. strutture reticolari sono delle strutture poligonali che possono sostenere ampi tetti e pesanti ponti.

Pallone da calcio

Dado poligonale

I solidi platonici, sono anche usati per creare dei dadi. A causa della loro simmetria, ogni faccia ha la stessa probabilità di apparire – quindi il dado è bilanciato.

L'icosaedro troncato è probabilmente il poliedro più famoso al mondo: è la forma di un pallone da calcio.