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Tiếng ViệtPoligoni e poliedriQuadrilateri
Nel corso precedente abbiamo investigato molte proprietà dei triangoli. Ora concentriamoci sui quadrilateri.
Un quadrilatero regolare è chiamato
Un quadrato è un quadrilatero con quattro lati uguali e quattro angoli congruenti.
Per i quadrilateri un po' meno “regolari”, abbiamo due opzioni. Se vogliamo che solo gli angoli siano uguali, otteniamo un
Un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli uguali.
Un rombo è un quadrilatero con quattro lati lunghi uguali.
Esistono anche altri quadrilateri che sono ancora meno regolari, ma che possiedono comunque delle proprietà importanti:
Se entrambe le coppie di lati opposti sono
Se due coppie di lati adiacenti hanno la stessa lunghezza, otteniamo un deltoide (o aquilone).
Se almeno una coppia di lati opposti è parallela, otteniamo un trapezio.
Ogni quadrilatero può appartenere a più di una di queste categorie. Possiamo visualizzare la gerarchia dei diversi tipi di quadrilateri con un
Ad esempio, ogni rettangolo è anche un
Per evitare ogni ambiguità, si indica normalmente la categoria più specifica a cui appartiene il quadrilatero.
Scegli ora quattro punti qualsiasi, nel riquadro grigio a sinistra. Possiamo connetterli per formare un quadrilatero.
Troviamo i punti medi di ognuno dei quattro lati. Se connettiamo i punti medi, otteniamo
Prova a spostare i vertici del quadrilatero esterno e osserva cosa accade a quello interno. Si direbbe che non è solo un quadrilatero qualsiasi , bensì un
Ma perché?Come mai il risultato per ogni quadrilatero è sempre un parallelogramma? Per capire meglio, dobbiamo disegnare una delle
La diagonale divide il quadrilatero in due triangoli. E ora puoi vedere che due dei lati del quadrilatero interno sono in realtà
Nel corso precedente abbiamo dimostrato che i
Possiamo fare lo stesso con la seconda diagonale del quadrilatero, per mostrare che entrambe le coppie di lati opposti sono parallele. Ed ecco tutto ciò che serve per dimostrare che il quadrilatero interno è un
Parallelogrammi
Si da il caso che i parallelogrammi abbiano molte altre proprietà interessanti, oltre al fatto che i lati opposti sono paralleli. Quale delle sei affermazioni seguenti è vera?
Naturalmente, la semplice “osservazione” di queste proprietà non basta. Per essere certi che siano sempre vere, dobbiamo dimostrarle :
Lati opposti e angoli
Proviamo ora a dimostrare che i lati e gli angoli opposti in in parallelogramma sono sempre congruenti.
Inizia tracciando una delle diagonali del parallelogramma.
La diagonale crea quattro nuovi angoli con i lati del parallelogramma. I due angoli rossi e i due angoli blu sono
Ora, osservando i due triangoli creati dalle diagonali, notiamo che essi hanno due angoli congruenti, e un lato congruente. Secondo il criterio di congruenza
Ciò significa che anche le altre grandezze corrispondenti nei due triangoli devono essere uguali: in particolare, entrambe le coppie di lati opposti sono congruenti, e entrambe le coppie di angoli opposti sono congruenti.
Si dà il caso che anche il contrario è vero: se entrambe le coppie di lati (o angoli) opposti in un quadrilatero sono cungruenti, allora il quadrilatero dev'essere un parallelogramma.
Diagonali
Ora dimostra che le due diagonali di un parallelogramma si intersecano nel loro punto medio.
Riflettiamo sui due triangoli gialli generati dalle diagonali:
- Abbiamo appena dimostrato che i due lati verdi sono congruenti, perché sono i lati opposti di un parallelogramma.
- I due angoli rossi e i due angoli blu sono congruenti, perché sono
.
Secondo il criterio
Possiamo ora sfruttare il fatto che le misure corrispondenti di due triangoli congruenti sono congruenti, per concludere che
Come prima, anche il contrario è vero: se le due diagonali di un quadrilatero si tagliano a metà, allora il quadrilatero è un parallelogramma.
Aquiloni (o deltoidi)
Abbiamo mostrato sopra che le due coppie di lati
Il nome aquilone fa chiaramente riferimento agli aquiloni che puoi far volare nel cielo. Tuttavia, tra tutti i quadrilateri particolari che abbiamo visto fin qui, l'aquilone è l'unico che può anche essere
Un aquilone convesso
Un aquilone concavo a forma di freccia
Avrai forse notato, che tutti gli aquiloni sono
La diagonale divide l'aquilone in due triangoli congruenti. Sappiamo che sono congruenti grazie al criterio
Osservando le
Questo significa, ad esempio,che la diagonale è una
E non è tutto: se tracciamo l'altra diagonale, otteniamo altri due triangoli più piccoli. Anche questi devono essere congruenti, per via del criterio
Questo significa che l'angolo α dev'essere uguale a angle β. Siccome sono adiacenti,
In altre parole, le diagonali di un aquilone sono sempre
Area di un quadrilatero
Per calcolare l'area di un triangolo nel corso precedente, abbiamo sfruttato l'idea di trasformarlo in un
Parallelogramma
A sinistra, prova a disegnare un rettangolo che abbia la stessa area del parallelogramma.
Riesci a vedere che il triangolo mancante a sinistra è
Area = base × altezza
Fai attenzione quando misuri l'altezza di un parallelogramma: normalmente non è uguale alla lunghezza di uno dei lati.
Trapezio
Ricorda che i trapezi sono quadrilateri con una coppia di lati paralleli. Questi lati paralleli si chiamano basi del trapezio.
Come prima, prova a disegnare un rettangolo che abbia la stessa area di questo trapezio. Riesci a vedere come il triangolo mancante e quello aggiunto a sinistra si bilanciano?
L' altezza di questo rettangolo è la
La base del rettangolo è la distanza tra i
.
Come nei
Combinando queste informazioni, otteniamo un'equazione per l'area di un trapezio con basi a e c, e altezza h:
Aquilone
In questo aquilone, le due diagonali formano la base e l'altezza di un grande rettangolo che incornicia l'aquilone.
L'area di questo rettangolo è
Ciò significa che l'area di un aquilone con diagonali d1 e d2 è
Area =
Rombo
Un
Di conseguenza, per trovare l'area di un rombo, possiamo usare l'equazione per l'area di un parallelogramma, o quella per l'area di un aquilone:
Area = base × altezza =
A dipendenza del contesto, potresti conoscere diverse informazioni di un rombo (lati, altezza, diagonali), e dovrai quindi scegliere la formula più efficace.