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Trasformazioni e simmetria
Introduzione
Trasformazioni rigide
Congruenza
Simmetria
Gruppi e sfondi di simmetria
Simmetria in fisica
Dilatazioni
Somiglianza

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Trasformazioni e simmetriaTrasformazioni rigide

Momento della lettura: ~30 min

Una trasformazione rigida è un tipo speciale di trasformazione che non cambia le dimensioni e la forma della figura originale. Immagina che sia fatto di un materiale solido come il legno o il metallo: possiamo spostarlo, girarlo e capovolgerlo, ma non possiamo allungarlo o deformarlo in altro modo.

Quali di queste trasformazioni sono rigide?

Per trasformazioni rigide, l'immagine è sempre l'originale. Esistono tre diversi tipi di trasformazioni rigide:

Una trasformazione che semplicemente sposta una forma è chiamata traduzione.

Una trasformazione che lancia una forma sopra è chiamata riflessione.

Una trasformazione che gira una forma è chiamata rotazione.

Possiamo anche combinare più tipi di trasformazione per crearne di più complessi, ad esempio una traduzione seguita da una rotazione.

Ma prima, diamo un'occhiata a ciascuno di questi tipi di trasformazioni in modo più dettagliato.

Traduzioni

Una traduzione è una trasformazione che sposta ogni punto di una figura della stessa distanza nella stessa direzione.

Nel piano delle coordinate, possiamo specificare una traduzione di quanto la forma viene spostata lungo l'asse x e l'asse y. Ad esempio, una trasformazione di (3, 5) sposta una forma di 3 lungo l'asse x e di 5 lungo l'asse y.

Tradotto da (, )

Tradotto da (, )

Tradotto da (, )

Ora tocca a te: traduci le seguenti forme come mostrato:

Traduci di (3, 1)

Traduci di (–4, –2)

Traduci di (5, -1)

Riflessioni

Una riflessione è una trasformazione che "lancia" o "rispecchia" una forma attraverso una linea. Questa linea è chiamata linea di riflessione.

Disegna la linea di riflessione in ciascuno di questi esempi:

Ora tocca a te: disegna il riflesso di ognuna di queste forme:

Notare che se un punto si trova sulla linea di riflessione, la sua immagine è il punto originale.

In tutti gli esempi sopra, la linea di riflessione era orizzontale, verticale o con un angolo di 45 °, il che rendeva facile disegnare i riflessi. In caso contrario, la costruzione richiede un po 'più di lavoro:

Per riflettere questa forma sulla linea di riflessione, dobbiamo riflettere ogni vertice individualmente e quindi ricollegarli.

Scegliamo uno dei vertici e tracciamo la linea attraverso questo vertice perpendicolare alla linea di riflessione.

Ora possiamo misurare la distanza dal vertice alla linea del riflesso e fare il punto che ha la stessa distanza sull'altro lato. (Possiamo usare un righello o una bussola per farlo.)

Possiamo fare lo stesso per tutti gli altri vertici della nostra forma.

Ora non ci resta che collegare i vertici riflessi nell'ordine corretto e abbiamo trovato il riflesso!

Rotazioni

Una rotazione è una trasformazione che "ruota" una forma di un certo angolo attorno ad un punto fisso. Quel punto è chiamato centro di rotazione. Le rotazioni possono essere in senso orario o antiorario.

Prova a ruotare le forme sottostanti attorno al centro di rotazione rosso:

Ruota di 90 ° in senso orario.

Ruota di 180 °.

Ruota di 90 ° in senso antiorario.

È più difficile disegnare rotazioni che non sono esattamente 90 ° o 180 °. Proviamo a ruotare questa forma di ${10*ang} ° attorno al centro di rotazione.

Come per i riflessi, dobbiamo ruotare ogni punto in una forma singolarmente.

Iniziamo selezionando uno dei vertici e tracciando una linea al centro di rotazione.

Usando un goniometro, possiamo misurare un angolo di di ${ang*10} ° attorno al centro di rotazione. Disegniamo una seconda linea con quell'angolo.

Usando una bussola o un righello, possiamo trovare un punto su questa linea che ha la stessa distanza dal centro di rotazione del punto originale.

Ora dobbiamo ripetere questi passaggi per tutti gli altri vertici della nostra forma.

E infine, come prima, possiamo collegare i singoli vertici per ottenere l'immagine ruotata della nostra forma originale.

Le trasformazioni sono un concetto importante in molte parti della matematica, non solo nella geometria. Ad esempio, puoi trasformare funzioni spostando o ruotando i loro grafici. Puoi anche utilizzare le trasformazioni per determinare se due forme sono congruenti.

Archie