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Sequenze e motiviNumeri di Fibonacci

Momento della lettura: ~45 min

Immagina di aver ricevuto un paio di coniglietti, un maschio e una femmina. Sono conigli molto speciali, perché non muoiono mai, e quella femmina dà alla luce una nuova coppia di conigli esattamente una volta al mese (sempre un'altra coppia di maschi e femmine).

1
1
2
3
5
8
In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.
After one month, the rabbits are grown up and can start mating…
… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.
In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.
In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.
In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

Nel mese successivo avresti avuto 13 coppie di conigli: gli 8 del mese precedente, più 5 nuovi set di bambini. Riesci a rilevare un modello in questa sequenza?

Il numero di conigli in un determinato mese è . In altre parole, devi aggiungere i _precedenti due termini nella sequenza, per ottenere il successivo. La sequenza inizia con due 1 e la formula ricorsiva è_

xn = xn1 + xn2

Riesci a calcolare il numero di conigli dopo qualche altro mese?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , ...

Quindi dopo 12 mesi avrai 144 coppie di conigli!

Questa sequenza di numeri è chiamata Sequenza di Fibonacci, dal nome del matematico italiano Leonardo Fibonacci.

Quando Fibonacci nacque nel 1175, la maggior parte delle persone in Europa utilizzava ancora il sistema numerico romano per i numeri (ad esempio IVX o MCMLIV). Il padre di Fibonacci era un commerciante e insieme viaggiarono nel Nord Africa e in Medio Oriente. Fu lì che Fibonacci apprese per la prima volta il sistema numerico arabo.

Al suo ritorno in Italia, Fibonacci scrisse un libro intitolato Liber Abaci (latino per "Il libro dei calcoli"), dove introdusse per la prima volta i nuovi numeri arabi ai mercanti europei. Sono stati un successo immediato - e li usiamo ancora oggi.

Portrait of Leonardo Fibonacci

In una delle pagine del suo libro, ha anche studiato gli schemi genetici dei conigli - ecco perché i numeri di Fibonacci hanno preso il suo nome.

Pages from Fibonacci’s Liber Abaci

Naturalmente, i numeri di Fibonacci non sono come i conigli in realtà popolano nella vita reale. I conigli non hanno esattamente un figlio maschio e una femmina ogni mese, e alla fine non abbiamo tenuto conto della morte dei conigli.

Ma si scopre che ci sono molti altri luoghi in natura in cui compaiono i numeri di Fibonacci <<<<: ad esempio le spirali nelle piante. Riesci a contare quante spirali ci sono in ogni direzione?

Original
Clockwise
Countercw.

Questa pigna ha spirali in senso orario e spirali in senso antiorario.

Original
Clockwise
Countercw.

Questo girasole ha 34 spirali in senso orario e 55 spirali in senso antiorario.

In entrambi i casi, i numeri delle spirali sono numeri consecutivi di Fibonacci. Lo stesso vale per molte altre piante: la prossima volta che esci, conta il numero di petali in un fiore o il numero di foglie su uno stelo. Molto spesso scoprirai che sono numeri di Fibonacci!

Certo, questa non è solo una coincidenza. C'è un motivo importante per cui alla natura piace la sequenza di Fibonacci, di cui imparerai di più in seguito.

Male
Female

I numeri di Fibonacci compaiono anche nelle popolazioni di api mellifere.

In ogni colonia di api c'è una sola regina che depone molte uova. Se un uovo viene fecondato da un'ape maschio, si schiude in un'ape femmina. Se non viene fertilizzato, si schiude in un'ape maschio (chiamata drone).

Ciò significa che le api femmine hanno , mentre le api maschi hanno .

Se disegniamo l'albero genealogico di un'ape, il numero di genitori, nonni, bisnonni e generazioni precedenti sono sempre numeri di Fibonacci!

Occasionalmente, le giovani api femmine vengono alimentate con cibo speciale chiamato "pappa reale". In tal caso, si trasformano in regine e voleranno via per iniziare un nuovo alveare.

The Golden Ratio

Proprio come il triangolo e numeri quadrati e altre sequenze che abbiamo visto prima, la sequenza di Fibonacci può essere visualizzata usando un motivo geometrico:

1 1 2 3 5 8 13 21
We start with two small squares of size 1.
Next, we add a new square of size 2, to form a larger rectangle.
Next, we add a square of size 3, to form an even larger rectangle.
The next square has size 5. Can you see that we’re recreating the Fibonacci numbers?
If we continue adding squares, they will have size 8, 13, 21, and so on.
You might have noticed that, as the rectangles get larger, they seem to start “spiraling” outwards. We can even visualise this by drawing a perfect spiral that connects the corners of the squares.

Ad ogni passo, i quadrati formano un rettangolo più grande. La sua larghezza e altezza sono sempre due numeri consecutivi di Fibonacci. Le proporzioni <<<< del rettangolo sono il rapporto tra la sua larghezza e la sua altezza:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1.5

golden-3

53 = 1.666 ...

golden-4

85 = 1.6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1.62…

Si noti come, quando si aggiungono sempre più quadrati, le proporzioni sembrano avvicinarsi sempre più a un numero specifico intorno a 1,6. Questo numero è chiamato rapporto aureo e di solito rappresentato dalla lettera greca φ ("phi"). Il suo valore esatto è

1+52=1.61803398875

Molte persone credono che il rapporto aureo sia particolarmente esteticamente gradevole. Ecco perché viene spesso utilizzato da artisti e architetti, come in questi due esempi:

Si dice che lo scultore greco Fidia abbia usato la sezione aurea durante la progettazione del Partenone ad Atene. La prima lettera del suo nome, φ, è il simbolo che ora utilizziamo per il rapporto aureo.

The Sacrament of the Last Supper, dell'artista spagnolo Salvador Dalí, è uno dei tanti dipinti nella sezione aurea. Sullo sfondo, puoi anche vedere un grande dodecaedro <<<<.

Possiamo approssimare il rapporto aureo due numeri consecutivi di Fibonacci.

Tuttavia, si scopre che il valore esatto di φ non può essere scritto come una semplice frazione: è un numero irrazionale, proprio come π e 2 e alcuni altri numeri che hai visto prima.

Spirali di Fibonacci

Il rapporto aureo spiega perché i numeri di Fibonacci compaiono in natura, come il girasole e la pigna che hai visto all'inizio di questa sezione.

Entrambe queste piante crescono verso l'esterno dal loro centro (una parte della pianta chiamata meristem). Quando vengono aggiunti nuovi semi, foglie o petali, spingono quelli esistenti più verso l'esterno.

Sposta il cursore a destra per visualizzare come cresce una pianta. Notare come ogni foglia viene aggiunta con una rotazione diversa dalla precedente. L'angolo tra due foglie consecutive è sempre lo stesso.

È importante che i fiori scelgano un'angolazione adeguata: le foglie o i semi devono essere approssimativamente equidistanti in modo da ottenere la maggior quantità di luce solare e sostanze nutritive. Nel diagramma seguente, puoi esplorare come potrebbe apparire un girasole con angoli diversi tra i suoi semi:

Se l'angolo è 0 °, tutti i semi cresceranno in un'unica lunga fila dal centro.
Se l'angolo è 12 di una rotazione completa (180 °), i semi si alterneranno tra due "bracci" separati che si allontanano dal centro.
Se la rotazione è un'altra proporzione frazionaria di 360 °, ad esempio 25 o 13 o 38, quindi il numero di "armi" sarà lo stesso del di quella frazione.
Sfortunatamente le "armi" sono cattive, perché significano che i semi non sono distribuiti uniformemente: tutto lo spazio tra le braccia è sprecato. Ma se numeri razionali non funzioneranno, proviamo numeri irrazionali!
Un esempio di un numero irrazionale è π. Ma se l'angolo tra i semi è 1π di 360 °, sembriamo ancora ottenere armi: 22 di loro. Questo perché la frazione 227=3.1429 è un'approssimazione abbastanza buona per π. Ciò di cui abbiamo davvero bisogno è un numero irrazionale che non può essere approssimato da vicino con una semplice frazione.
Si scopre che il rapporto aureo è proprio questo: il "più irrazionale" di tutti i numeri irrazionali. Se l'angolo tra i semi è 1φ di 360 °, sembrano essere spaziati quasi alla perfezione. E questo è esattamente l'angolazione utilizzata dalle piante di tutto il mondo.

Potresti ricordare dall'alto che i rapporti dei numeri consecutivi di Fibonacci si avvicinano sempre più al rapporto aureo - ed è per questo che, se conti il numero di spirali in una pianta, troverai spesso un numero di Fibonacci.

È importante ricordare che la natura non conosce i numeri di Fibonacci. Inoltre, la natura non è in grado di risolvere equazioni per calcolare il rapporto aureo, ma nel corso di milioni di anni le piante hanno avuto molto tempo per provare diverse angolazioni e scoprire quella migliore.

Le piante e gli animali vogliono sempre crescere nel modo più efficiente, ed è per questo che la natura è piena di schemi matematici regolari.

Fibonachos

Finora abbiamo usato solo l'equazione ricorsiva per i numeri di Fibonacci. In realtà esiste anche un'equazione esplicita, ma è molto più difficile da trovare:

Fn=151+52n152n

Potremmo anche provare a scegliere diversi punti di partenza per i numeri di Fibonacci. Ad esempio, se iniziamo con 2, 1, ... anziché 1, 1, ... otteniamo una sequenza chiamata numeri di Lucas.

Si scopre che, qualunque siano i due numeri iniziali scelti, le sequenze risultanti condividono molte proprietà. Ad esempio, i rapporti di termini consecutivi sempre convergeranno nel rapporto aureo.

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

Esistono molti altri enigmi, schemi e applicazioni relativi ai numeri di Fibonacci. Ecco alcuni esempi, che puoi provare tu stesso:

Problem solving

1. Divisibilità di Fibonacci

(a) Quali numeri di Fibonacci sono pari? C'è uno schema nel punto in cui sono posizionati lungo la sequenza? Puoi spiegare perché?

(b) Quali numeri di Fibonacci sono divisibili per 3 (o divisibili per 4)? Cosa noti?


2. Somme di Fibonacci

Cosa succede se sommi tre numeri di Fibonacci consecutivi? Puoi spiegare perché?


3. Scale di Fibonacci

Quando salgo le scale, posso fare singoli passi o saltare due passi alla volta. Ciò significa che ci sono molte diverse possibilità su come potrei salire una scala. Ad esempio, se ci sono 5 passaggi, ho 8 diverse scelte:

Quante scelte ci sono per le scale con 6, 7 o 8 gradini? Riesci a rilevare un modello? E in che modo questo è legato ai numeri di Fibonacci?

© FoxTrot, by Bill Amend