Sequenze e patternSuccessione di Fibonacci

Immagina di aver ricevuto un paio di coniglietti, un maschio e una femmina. Sono conigli molto speciali, perché non muoiono mai, e la femmina dà alla luce una nuova coppia di conigli esattamente una volta al mese (sempre un'altra coppia di maschi e femmine).

1

1

2

3

5

8

Nel primo mese, i conigli sono molto piccoli e non possono fare molto, ma crescono molto rapidamente.

Dopo un mese, i conigli sono cresciuti e possono iniziare ad accoppiarsi ...

... e dopo un altro mese, daranno alla luce il loro primo paio di figli. Ora hai due coppie di conigli.

Nel mese successivo, la tua coppia di conigli partorirà un'altra coppia. Nel frattempo, il primo paio di coniglietti è cresciuto. Ora hai tre coppie in totale.

Nel quinto mese, la tua coppia originale di conigli darà alla luce una nuova coppia. Allo stesso tempo, il loro primo paio di figli è ora abbastanza grande da dare alla luce nipoti. Ora hai cinque coppie di conigli.

Nel sesto mese, ci sono altre tre coppie che partoriscono: quella originale, così come le loro prime due coppie o figli.

Nel mese successivo avresti avuto 13 coppie di conigli: gli 8 del mese precedente, più 5 nuove coppie. Riesci a rilevare un modello in questa successione? Continua

Il numero di conigli in un determinato mese è la somma dei due numeri precedentiil doppio del numero precedente. In altre parole, devi sommare i due termini precedenti della successione, per ottenere il successivo. La successione inizia con due 1 e la formula ricorsiva è

xn = xn−1 + xn−2

Riesci a calcolare il numero di conigli dopo qualche mese?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , ...

Quindi dopo 12 mesi avrai 144 coppie di conigli!

Questa sequenza di numeri è chiamata Successione di Fibonacci, dal nome del matematico italiano Leonardo Fibonacci.

In una delle pagine del suo libro, ha anche studiato gli schemi genetici dei conigli - ecco perché i numeri di Fibonacci hanno preso il suo nome.

Naturalmente, in realtà i conigli si riproducono in modo diverso. Non hanno esattamente un figlio maschio e una femmina ogni mese, e non abbiamo mai tenuto conto della morte dei conigli.

Ma si scopre che ci sono molti altri luoghi in natura in cui compaiono i numeri di Fibonacci: ad esempio le spirali nelle piante. Riesci a contare quante spirali ci sono in ogni direzione?

In entrambi i casi, i numeri delle spirali sono numeri di Fibonacci consecutivi. Lo stesso vale per molte altre piante: la prossima volta che esci, conta il numero di petali in un fiore o il numero di foglie su uno stelo. Molto spesso scoprirai che sono numeri di Fibonacci!

Certo, questa non è solo una coincidenza. C'è un motivo importante per cui alla natura piace la successione di Fibonacci! In seguito scoprirai molti più dettagli.

La Sezione Aurea

Proprio come il triangolo e numeri quadrati e altre sequenze che abbiamo visto prima, la successione di Fibonacci può essere visualizzata usando un motivo geometrico:

Ad ogni passo, i quadrati formano un rettangolo più grande. La sua larghezza e altezza sono sempre due numeri di Fibonacci consecutivi. Notate il rapporto tra larghezza e altezza dei rettangoli:

Notate che man a mano che si aggiungono più quadrati, le proporzioni sembrano avvicinarsi sempre più a un numero specifico intorno a 1,6. Questo numero è chiamato sezione aureo e di solito rappresentato dalla lettera greca φ ("phi"). Il suo valore esatto è

1+52=1.61803398875…

Molte persone credono che la sezione aurea sia esteticamente gradevole. Ecco perché viene spesso utilizzata da artisti e architetti, come in questi due esempi:

Si dice che lo scultore greco Fidia abbia usato la sezione aurea durante la progettazione del Partenone ad Atene. La prima lettera del suo nome, φ, è il simbolo che ora utilizziamo per la sezione aurea.

L'ultima cena, dell'artista spagnolo Salvador Dalí, è uno dei tanti dipinti che usa la sezione aurea. Sullo sfondo, puoi anche vedere un grande dodecaedro.

Possiamo approssimare la sezione aurea dividendoaggiungendosottraendo due numeri di Fibonacci consecutivi.

Tuttavia, si scopre che il valore esatto di φ non può essere scritto come una semplice frazione: è un numero irrazionale, proprio come π e 2 e altri numeri che hai visto precedentemente.

Spirali di Fibonacci

È importante che i fiori scelgano un'angolazione adeguata: le foglie o i semi devono essere approssimativamente equidistanti in modo da ottenere la maggior quantità di luce solare e sostanze nutritive. Nel diagramma seguente, puoi esplorare come potrebbe apparire un girasole con angoli diversi tra i suoi semi:

Fibonachos

Finora abbiamo usato solo l'equazione ricorsiva per i numeri di Fibonacci. In realtà esiste anche un'equazione esplicita, ma è molto più difficile da trovare:

Fn=151+52n−1−52n

Potremmo anche provare a scegliere diversi punti di partenza per i numeri di Fibonacci. Ad esempio, se iniziamo con 2, 1, ... anziché 1, 1, ... otteniamo una successione chiamata numeri di Lucas.

Si scopre che, qualunque siano i due numeri iniziali scelti, le successioni risultanti condividono molte proprietà. Ad esempio, i rapporti di termini consecutivi sempre convergeranno nella sezione aureo.

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

Esistono molti altri enigmi, schemi e applicazioni relativi ai numeri di Fibonacci. Ecco alcuni esempi, che puoi provare tu stesso: