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Sequenze e pattern
Trailer
Introduzione
Successioni aritmetiche e geometriche
Numeri figurati
Sequenze come funzioni
Successione di Fibonacci
Successioni speciali
Triangolo di Pascal
Limiti e convergenza

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Glossario

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Sequenze e patternSuccessioni speciali

Momento della lettura: ~40 min

Oltre alle progressioni aritmetiche e geometriche, i numeri di Fibonacci e i numeri figurati, ci sono innumerevoli successioni interessanti che non seguono uno schema regolare.

Numeri primi

Un esempio che hai già visto prima sono i numeri primi. Diciamo che un numero è primo se ha come fattori .

Ecco i primi numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, , , ,…

Sfortunatamente, i numeri primi non seguono un modello semplice o una formula ricorsiva. A volte appaiono direttamente uno accanto all'altro (questi sono chiamati numeri primi gemelli), e talvolta sono separati da enormi intervalli. Sembrano essere distribuiti quasi casualmente!

Inoltre, i numeri primi non hanno una semplice rappresentazione geometrica come i numeri triangolari o i numeri quadrati, ma con un po' di lavoro possiamo rivelare modelli interessanti:

1
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100

Se cancelliamo tutti i multipli di piccoli numeri interi, i numeri rimanenti devono essere tutti primi. Questo metodo è chiamato Crivello di Eratostene.

Se disegniamo un grafico che aumenta di 1 ogni volta che c'è un numero primo, otteniamo una funzione "a gradini" con proprietà affascinanti.

Puoi saperne di più su queste e altre proprietà dei numeri primi nel nostro corso su Divisibilità e numeri primi. Questi sono alcuni dei concetti più importanti e misteriosi della matematica!

Numeri perfetti

Per determinare se un numero è primo, dobbiamo trovare tutti i suoi fattori. Di solito moltiplichiamo questi fattori per recuperare il numero originale, ma vediamo cosa succede se sommiamo tutti i fattori di un numero (escluso il numero stesso):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
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2
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1
18
1
2
3
6
9

Confrontiamo questi numeri con la loro somma dei fattori:

Per la maggior parte dei numeri, la somma dei suoi fattori è al numero stesso. Questi numeri sono chiamati numeri carenti.

Per alcuni numeri, la somma dei suoi fattori è maggiore al numero stesso. Questi numeri sono chiamati numeri abbondanti.

Solo per un numero nell'elenco sopra la somma di fattori che è uguale al numero stesso: . Questo si chiama numero perfetto.

Il prossimo numero perfetto è 28, perché se sommiamo tutti i suoi fattori otteniamo 1+2+4+7+14=28. Successivamente, i numeri perfetti diventano molto più rari:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Si noti che tutti questi numeri sono . Si scopre che sono anche tutti numeri triangolari!

I numeri perfetti furono studiati per la prima volta da antichi matematici greci come Euclide, Pitagora e Nicomaco, più di 2000 anni fa. Hanno calcolato alcuni numeri perfetti, e si sono chiesti se ci fossero dei numeri dispari.

Oggi i matematici hanno usato i computer per controllare i primi 10 1500 numeri (che è un 1 seguito da 1500 zeri), ma senza successo: tutti i numeri perfetti che hanno trovato erano pari. Ad oggi, non si sa ancora se ci siano numeri dispari perfetti, rendendolo il problema irrisolto più antico di tutta la matematica!

Euclide di Alessandria

La sequenza di Hailstone

La maggior parte delle sequenze che abbiamo visto finora avevano una sola regola o modello. Ma non vi è alcun motivo per cui non possiamo combinarne diversi, ad esempio una formula ricorsiva come questa:

Se xn è pari:xn+1=xn/2
Se xn è dispari:xn+1=3xn+1

Cominciamo con x1=5 e vediamo cosa succede:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Sembra che dopo alcuni termini, la sequenza raggiunga un "ciclo": 4, 2, 1 e che continuerà a ripetersi per sempre.

Ovviamente, avremmo potuto scegliere un punto di partenza diverso, come ${n}. In tal caso la sequenza sarebbe simile a questa:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Sembra che la lunghezza della sequenza vari molto, ma finirà sempre con un ciclo di 4, 2, 1, indipendentemente dal primo numero che selezioniamo. Possiamo persino visualizzare i termini della sequenza in un grafico:

Start value:${n}

Nota come alcuni punti di partenza finiscono molto rapidamente, mentre altri (come o ) fanno più di cento passi prima di raggiungere il ciclo 4, 2, 1.

Tutte le sequenze che seguono questa formula ricorsiva sono chiamate Sequenze di Hailstone, perché sembrano muoversi casualmente su e giù prima di raggiungere il ciclo 4, 2, 1 - proprio come chicchi di grandine (hailstone in inglese) che si muovono su e giù in una nuvola prima di schiantarsi sulla Terra.

Nel 1937, il matematico Lothar Collatz propose che ogni sequenza di Hailstone alla fine termina con un ciclo di 4, 2, 1, qualunque sia il valore iniziale che scegli. Hai già verificato alcuni punti di partenza sopra e i computer hanno effettivamente provato tutti i numeri fino a 1020, ovvero 100 miliardi di miliardi o un 1 seguito da venti zeri.

Tuttavia, ci sono infiniti numeri interi. È impossibile controllarli tutti e nessuno è stato in grado di trovare una prova che funzioni per tutti.

Proprio come la ricerca di numeri dispari perfetti, questo è ancora un problema aperto in matematica. È sorprendente che questi semplici schemi per le sequenze abbiano portato a delle domande che hanno sconcertato i migliori matematici del mondo per secoli!

La sequenza Look-and-Say

Ecco un'altra sequenza leggermente diversa da tutte quelle che hai visto sopra. Riesci a trovare il modello?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ...

Questa sequenza è chiamata sequenza Look-and-Say e lo schema è proprio quello che dice il nome: inizi con un 1 e ogni termine successivo è quello che ottieni se “leggi ad alta voce” il precedente. Ecco un esempio:

Riesci ora a trovare i termini seguenti?

…, 312211, , , ...

Questa sequenza viene spesso utilizzata come puzzle per ingannare i matematici, perché il modello sembra essere completamente non matematico. Tuttavia, a quanto pare, la sequenza ha molte proprietà interessanti. Ad esempio, ogni termine termina in e nessuna cifra superiore a viene utilizzata.

Il matematico britannico John Conway ha scoperto che, indipendentemente dal numero selezionato come valore iniziale, la sequenza alla fine verrà suddivisa in "sezioni" distinte che non interagiscono più tra loro. Conway lo chiamò Teorema cosmologico e nominò le diverse sezioni usando gli elementi chimici Hydrogen, Helium, Lithium, ..., fino al plutonio.

Quiz sulle Sequenze

Ora hai visto innumerevoli sequenze matematiche diverse, alcune basate su forme geometriche, alcune che seguono formule specifiche e altre che sembrano comportarsi in modo quasi casuale.

In questo quiz puoi combinare tutte le tue conoscenze sulle sequenze. C'è solo un obiettivo: trovare lo schema e calcolare i due termini successivi!

Trova il numero successivo

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Pattern: Sempre +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Pattern: +3, +4, +5, +6, …

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Pattern: +4, –1, +4, –1, …

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Pattern: ×2, +2, ×2, +2, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Pattern: Numeri di Fibonacci

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Pattern: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2, …

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Pattern: Numeri quadrati dispari

Archie