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SvenskaSequenze e patternIntroduzione
Molte professioni che usano la matematica sono interessate ad un aspetto specifico: trovare schemi (pattern) per poter predire il futuro. Ecco alcuni esempi:
Nell'ultimo decennio, i dipartimenti di polizia in tutto il mondo hanno iniziato a fare più affidamento sulla matematica. Algoritmi speciali usano i dati dei crimini passati per prevedere quando e dove i crimini potrebbero verificarsi in futuro. Ad esempio, il sistema PredPol (abbreviazione di "polizia predittiva"), ha contribuito a ridurre il tasso di criminalità in alcune parti di Los Angeles del 12%!
Si è scoperto che i terremoti seguono schemi simili ai crimini. Proprio come un crimine potrebbe innescare delle ritorsioni, un terremoto potrebbe innescare delle scosse di assestamento. In matematica, si chiama "processo autoeccitante" e delle equazioni ci aiutano a prevedere quando potrebbe accadere il prossimo.
Inoltre, i banchieri guardano anche ai dati storici dei prezzi delle azioni, dei tassi di interesse e dei tassi di cambio per stimare come i mercati finanziari potrebbero cambiare in futuro. Essere in grado di prevedere se il valore di un titolo aumenterà o diminuirà può essere estremamente redditizio!
I matematici professionisti usano algoritmi molto complessi per trovare ed analizzare tutti questi schemi, ma inizieremo con qualcosa di un po' più semplice.
Sequenze semplici
In matematica, una Una sequenzaè un elenco ordinato di numeri (o altri elementi come oggetti geometrici), che spesso seguono uno schema o una funzione specifici. Le sequenze possono essere sia finite che infinite. I termini di una sequenza sono tutti i suoi singoli numeri o elementi.
Ecco alcuni esempi di sequenze. Riesci a trovare i loro modelli e calcolare i prossimi due termini?
3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*,
4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*,
3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*,
1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*,
I punti (...) alla fine significano semplicemente che la sequenza può continuare all'infinito. Quando ci riferiamo a successioni come questa in matematica, spesso rappresentiamo ogni termine con una Una variabile è una quantità sconosciuta o che può cambiare valore. In un'espressione algebrica, di solito è rappresentato da una lettera come x.
Il piccolo numero dopo x si chiama pedice e indica la posizione del termine nella successione. Ciò significa che possiamo rappresentare il termine n nella sequenza di
Numeri triangolari e quadrati
Le successioni matematiche non devono essere necessariamente composte da numeri. Ecco una successione di forme geometriche - triangoli di dimensioni crescenti:
1
3
6
Ad ogni passaggio, stiamo aggiungendo una nuova riga al triangolo precedente. Anche la lunghezza di queste nuove righe aumenta di volta in volta. Riesci a vedere lo schema?
1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6*
Possiamo descrivere questo modello usando una Una formula è una regola o equazione che descrive la relazione tra due o più variabili. Un esempio è
Per ottenere il numero del triangolo n, prendiamo il numero del triangolo
Una formula che esprime Una formula ricorsiva per una sequenza esprime il valore di ogni termine
Un'altra successione che consiste di forme geometriche è rappresentata dai numeri quadrati. Ogni termine è formato da quadrati sempre più grandi:
1
4
9
Per i numeri dei triangoli abbiamo trovato una formula ricorsiva che ci dice il termine successivo della sequenza in funzione dei suoi termini precedenti. Per i numeri quadrati possiamo fare ancora meglio: una formula che ci dice il termine n direttamente, senza aver calcolato tutti i precedenti:
Questa si chiama Una formula esplicita per una sequenza esprime il valore del n th term
Riassumiamo tutte le definizioni che abbiamo visto finora:
Una Una sequenzaè un elenco ordinato di numeri (o altri elementi come oggetti geometrici), che spesso seguono uno schema o una funzione specifici. Le sequenze possono essere sia finite che infinite. I termini di una sequenza sono tutti i suoi singoli numeri o elementi.
Una Una formula ricorsiva per una sequenza esprime il valore di ogni termine
Una Una formula esplicita per una sequenza esprime il valore del n th term
Fotografia in sequenza d'azione
Nelle sezioni seguenti imparerai molte successioni matematiche diverse, schemi sorprendenti e applicazioni inaspettate.
Per prima cosa, diamo un'occhiata a qualcosa di completamente diverso: fotografia istantanea di sequenze d'azione. Un fotografo fa molti scatti in rapida successione, quindi li unisce in un'unica immagine:
Riesci a vedere come lo sciatore forma una successione? Il modello non è addizione o moltiplicazione, ma una Una trasformazione rigida (o isometria) è una trasformazione che non cambia la dimensione o la forma di una figura geometrica.
Ecco altri esempi di fotografia in sequenza d'azione per il tuo divertimento:
