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Sequenze e patternTriangolo di Pascal

Momento della lettura: ~25 min

Di seguito puoi vedere una piramide numerica creata usando un modello semplice: inizia con un singolo “1” in alto e ogni cella successiva è la somma delle due celle direttamente sopra. Passa il mouse sopra alcune celle per vedere come vengono calcolate, quindi compila quelle mancanti:

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Questo diagramma mostrava solo le prime dodici righe, ma potevamo continuare per sempre, aggiungendo nuove righe in fondo. Si noti che è un triangolo , il che può aiutarti a calcolare alcune delle celle.

Il triangolo si chiama Triangolo di Pascal, dal nome del matematico francese Blaise Pascal. Fu uno dei primi matematici europei a indagarne i modelli e le proprietà, ma questi triangoli erano noti anche ad altre civiltà molti secoli prima:

Nel 450 a.C., il matematico indiano Pingala chiamò questo triangolo "Scala del Monte Meru", dal nome di una montagna indù sacra.

In Iran, era noto come "Triangolo di Khayyam" (مثلث خیام), dal nome del poeta e matematico persiano Omar Khayyám.

Anche il matematico Jia Xian in China scoprì questo triangolo. Prende il nome dal suo successore, "Triangolo di Yang Hui" (杨辉 三角).

Il triangolo di Pascal può essere creato usando un modello molto semplice, ma è pieno di pattern e proprietà sorprendenti. Ecco perché ha affascinato i matematici di tutto il mondo, per centinaia di anni.

Alla ricerca di sequenze

Scoprirai che molte delle innumerevoli sequenze matematiche, che hai visto nelle sezioni precedenti, possono comparire anche nel triangolo di Pascal:

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I numeri nella prima diagonale su entrambi i lati .

I numeri nella seconda diagonale su entrambi i lati sono .

I numeri nella terza diagonale su entrambi i lati sono .

I numeri nella quarta diagonale sono .

Se sommi tutti i numeri di fila, le loro somme formano un'altra sequenza: la potenza .

In ogni riga che ha un numero primo nella sua seconda cella, tutti i numeri seguenti sono di quel numero primo.

Il diagramma sopra evidenzia le diagonali "poco profonde" in diversi colori. Se sommiamo i numeri in ogni diagonale, otteniamo .

Naturalmente, ciascuno di questi schemi ha una ragione matematica alla base. Forse puoi trovarne alcune!

Un'altra domanda che potresti porre è la frequenza con cui un numero appare nel triangolo di Pascal. Chiaramente ci sono infiniti 1, un 2 e ogni altro numero appare , nella seconda diagonale su entrambi i lati.

Alcuni numeri al centro del triangolo appaiono anche tre o quattro volte. Ce ne sono anche alcune che appaiono sei volte: puoi vedere sia 120 che 3003 quattro volte nel triangolo sopra, e poi appaiono altre due volte ciascuna nelle righe 120 e 3003 .

Poiché 3003 è un numero triangolare, in realtà appare altre due volte nella terza diagonale del triangolo: per un totale di otto occorrenze.

Non è noto se vi siano altri numeri che compaiono otto volte nel triangolo o se ci sono numeri che compaiono più di otto volte. Il matematico americano David Singmaster ha ipotizzato che ci sia un limite fisso sulla frequenza con cui i numeri possono apparire nel triangolo di Pascal - ma non è stato ancora dimostrato.

Divisibilità

Alcuni schemi del triangolo di Pascal non sono così facili da rilevare. Il diagramma seguente evidenzia tutte le celle pari:

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Sembra che i numeri pari nel triangolo di Pascal formino un piccolo .

La colorazione manuale di ogni cella richiede molto tempo, ma qui puoi vedere cosa succede se lo fai per molte più righe. E che dire delle celle divisibili per altri numeri?

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Wow! Le celle colorate appaiono sempre in (ad eccezione di alcune singole celle, che potrebbero essere viste come triangoli di dimensione 1).

Se continuiamo il modello di celle divisibili per 2, ne otteniamo uno che è molto simile al triangolo di Sierpinski sulla destra. Forme come questa, che consistono in un modello semplice che sembra continuare all'infinito pur diventando sempre più piccolo, sono chiamate Frattali. Imparerai di più su di loro in futuro ...

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Coefficienti binomiali

C'è un'altra proprietà importante del triangolo di Pascal di cui dobbiamo parlare. Per capirlo, proveremo a risolvere lo stesso problema con due metodi completamente diversi, quindi vedremo come sono correlati.

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