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Sequenze e patternNumeri figurati

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Il nome progressioni geometriche potrebbe confonderti, perché non ha nulla a che fare con la geometria. In effetti, il nome è stato sviluppato centinaia di anni fa, quando i matematici pensavano a moltiplicazione e radici quadrate in un modo molto più geometrico.

Tuttavia, ci sono molte altre successioni che si basano su determinate forme geometriche - alcune delle quali hai già visto nell'introduzione. Queste sequenze sono spesso chiamate numeri figurati e in questa sezione daremo uno sguardo più da vicino ad alcuni di essi.

Numeri triangolari

I numeri triangolari sono generati creando triangoli di dimensioni progressivamente maggiori:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Hai già visto la formula ricorsiva per i numeri triangolari: xn= .

Non è un caso che ci siano sempre 10 birilli quando si gioca a bowling o 15 palle quando si gioca a biliardo: sono entrambi numeri triangolari!

Sfortunatamente, la formula ricorsiva non è molto utile se vogliamo trovare il numero del triangolo 100 o 5000, perchè dobbiamo prima calcolare tutti i numeri precedenti. Tuttavia, come abbiamo fatto con le progressioni aritmetiche e geometriche, possiamo provare a trovare una formula esplicita per i numeri triangolari.

DISPONIBILE A BREVE: Prova animata

I numeri triangolari sembrano spuntare ovunque in matematica e li vedrai di nuovo durante questo corso. Un fatto particolarmente interessante è che qualsiasi numero intero può essere scritto come la somma di massimo tre numeri triangolari:

${n}

=

+

+

Il fatto che questo funzioni per tutti i numeri interi è stato dimostrato per la prima volta nel 1796 dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss - all'età di 19 anni!

Problem Solving

Qual è la somma dei primi 100 numeri interi positivi? In altre parole, qual è il valore di

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

Invece di fare la somma manualmente, puoi aiutarti con i numeri triangolari? Che dire della somma dei primi 1000 numeri interi positivi?

Numeri quadrati e poligonali

Un'altra successione basata su forme geometriche è quella dei numeri quadrati:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

È possibile calcolare i numeri in questa successione facendo il quadrato di ogni numero intero (12, 22, 32, ...), ma si scopre che esiste un altro modello: le differenze tra i numeri quadrati consecutivi sono i in ordine crescente!

Il motivo di questo modello diventa evidente se disegniamo un quadrato. Ogni passaggio aggiunge una riga e una colonna. La dimensione di questi "angoli" inizia da 1 e aumenta di 2 ad ogni passo, formando così una successione di numeri dispari.

Ciò significa anche che l' ennesimo numero quadrato è solo la somma dei primi n numeri dispari! Ad esempio, la somma dei primi 6 numeri dispari è

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

Inoltre, ogni numero quadrato è anche la somma di due numeri triangolari consecutivi. Ad esempio, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. Riesci a vedere come possiamo dividere ogni quadrato lungo la sua diagonale, in due triangoli?

x=

Dopo i numeri triangolari e quadrati, possiamo continuare con poligoni più grandi. Le successioni numeriche risultanti sono chiamate numeri poligonali.

Ad esempio, se utilizziamo poligoni con ${k} lati, otteniamo una successione di __ numeri ${polygonName(k)}__.

Riesci a trovare formule ricorsive ed esplicite per l'ennesimo numero poligonale che ha k lati? E noti altri modelli interessanti per i poligoni più grandi?

Numeri tetraedrici e cubici

Naturalmente, non dobbiamo nemmeno limitarci a forme e motivi bidimensionali. Potremmo accumulare le sfere per formare piccole piramidi, proprio come faresti per sistemare delle piramidi di arance al supermercato:

1

20

35

I matematici spesso chiamano queste piramidi tetraedri e la sequenza risultante numeri tetraedrici.

DISPONIBILE A BREVE: Altre informazioni sui numeri tetraedrici, i numeri cubici e i 12 giorni di Natale.