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Triangoli e trigonometriaTriangoli congruenti

Momento della lettura: ~20 min

Ora che possiamo verificare se tre lati possono formare un triangolo, ragioniamo su come potremmo effettivamente costruire un triangolo con questi lati.

Disegna un triangolo con lati di lunghezza 4cm, 5cm e 6cm.

Nel riquadro, disegna il lato più lungo del triangolo, che misura 6cm. Ora abbiamo già due dei tre vertici del triangolo – la sfida consiste nel trovare l'ultimo vertice.

Poi, disegna un cerchio di raggio 4cm centrato in uno dei vertici, e un cerchio di raggio 5cm centrato nell'altro vertice.

Il terzo vertice del triangolo è delle due circonferenze. Ora possiamo semplicemente collegarli per formare un triangolo.

I cerchi in realtà si intersecano volte: una volta in alto e una volta in basso. Possiamo scegliere entrambe queste intersezioni: i due triangoli risultanti sono .

Criteri di congruenza

Ma è possibile costruire un triangolo diverso con gli stessi tre lati?

Prima abbiamo costruito due triangoli, ma erano congruenti. In realtà, tutti i triangoli che hanno tre lati lunghi ugual sono congruenti. Questo è il Criterio di congruenza LLL per i triangoli (“Lato-Lato-Lato”).

Conosciamo quindi per ora due criteri per i triangoli: “AA” implica che due triangoli sono e “LLL” implica che due triangoli sono . Ci sono alcui altri criteri di congruenza:

Due triangoli sono congruenti se uno di questi criteri è soddisfatto:

LLL

Tutti i lati sono congruenti.

LAL

Due lati e l'angolo incluso sono congruenti.

ALA

Due angoli e il lato incluso sono congruenti.

AAL

Due angoli e uno dei lati non inclusi.

Puoi considerare questi criteri come "scorciatoie": per verificare se due triangoli sono congruenti, devi solo verificare una delle condizioni descritte sopra.

Una volta che sai che due triangoli sono congruenti, sai che tutti i loro lati e angoli corrispondenti sono congruenti.

È interessante notare che tutti i criteri consistono in diversi valori (lati oppure angoli)!

Costruzione di triangoli

All'inizio di questo capitolo, abbiamo visto come costruire un triangolo se ne conosciamo i tre lati. In modo simile, si può costruire un triangolo conoscendo le tre informazioni date da ognuno dei criteri di congruenza.

LAL

COMING SOON – Animazione

Disegna un triangolo con lati 5cm e 3cm, e un angolo incluso di ampiazza 40°.

Come prima, iniziamo disagnando uno dei lati del triangolo.

Poi, usando un goniometro, disegnamo un angolo di 40° in uno dei due vertici. Indichiamo un punto sulla semiretta che delimita l'angolo

Possiamo ora connetterlo al vertice per formare il secondo lato del triangolo.

Sappiamo che questo lato deve misurare 3cm, quindi misuriamo la distanza con una riga e troviamo il terzo vertice del triangolo.

Infine, possiamo collegare gli ultimi due vertici per completare il triangolo.

Naturalmente, avremmo potuto cominciare dal lato lungo 3cm, o disegnare l'angolo di 40° nell'altro vertice. Tuttavia in tutti questi casi, i triangoli risultanti sarebbero stati congruenti a questo.

ALA

COMING SOON – Animazione

Disegna un trangolo con angoli di 70° e 50° e un angolo incluso di lunghezza 5cm.

Iniziamo dal primo lato, usando una riga per misurare 5cm.

Ora usiamo un goniometro per misurare un angolo di 70° in uno degli estremi del lato, e un angolo di 50° nell'altro estremo. (Non importa in che ordine - i triangoli risultanti saranno congruenti.)

Collegando i punti sulla semiretta che delimita l'angolo ai vertici già trovati, il triangolo sarà completo.

AAL

COMING SOON – Animazione

Disegna un triangolo con angoli di 40° e 50°, e lato incluso di lunghezza 5cm.

Di nuovo, iniziamo tracciando il primo lato del triangolo, che misura 5cm.

Usiamo nuovamente il goniometro per misurare un angolo di 40° in uno dei vertici, e disegnamo la retta che contiene il secondo lato del triangolo. Non sappiamo ancora dove termina questo lato.

Scegliamo un punto qualsiasi su questa retta, facciamo finta che sia il terzo vertice del triangolo e misuriamo un angolo di 50°.

Come puoi vedere non è ancora ciò che vogliamo: il terzo lato non è ancora collegato con il vertice A. Per risolvere il problema, dobbiamo solo spostarlo: tracciamo una parallela passante per il vertice A. (Hai già imparato come tracciare una parallela in un a corso precedente.)

Ora i due angoli in alto sono angoli corrispondenti, quindi devono essere congruenti e misurano entrambi 50°. Possiamo eliminare la linea incorretta e otterremo il nostro triangolo AAL.

LLA

La costruzione LLA è leggermente differente. Avrai forse notato che “LLA” non era nella lista dei criteri di congruenza citati sopra, quindi paragonare LLA in due triangoli non è sufficiente per confermare che essi sono congruenti. Ecco perché:

COMING SOON – Animazione

Disegna un triangolo con lati di 4cm e 5cm, e un angolo non incluso di 50°.

Come sempre, cominciamo disegnando un primo lato di lunghezza 5cm.

Poi, disegnamo un angolo di 50° in uno dei due vertici e disegnamo la retta che contiene il secondo lato del triangolo. Tuttavia, non sappiamo ancora dove terminerà questo lato.

Il terzo lato deve misurare 4cm. Usando un compasso, possiamo disegnare un cerchio di raggio 4cm con centro nell'altro vertice del lato iniziale.

Il vertice finale del triangolo è l'intersezionetra il cerchio e la seconda linea. Tuttavia, in questo caso, ci sono due intersezioni!

Questi due triangoli chiaramente non sono congruenti. Questo significa che ci sono due triangoli diversi con lati di 4cm e 5cm, e un angolo non incluso di 50°. LLA non è una condizione sufficiente per confermare che due triangoli sono congruenti.