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Triangoli e trigonometriaProprietà dei triangoli

Momento della lettura: ~30 min

Cominciamo con le cose semplici: un triangolo è una figura chiusa che ha tre lati (che sono segmenti) e tre vertici (i punti dove i lati si incontrano). Ha anche tre angoli interni, e sappiamo già che la loro somma vale sempre °.

Possiamo classificare i triangoli secondo l'ampiezza dei loro angoli:

Un triangolo rettangolo
ha un angolo retto.

Un triangolo ottusangolo
ha un angolo ottuso.

Un triangolo acutangolo
ha angoli acuti.

Per comodità, contrassegnamo i triangoli sempre nello stesso modo. I vertici vengono indicati con le lettere maiuscole A, B e C, i lati vengono indicati con le lettere minuscole a, b and c, e gli angoli con le lettere greche α, β e γ (“alpha”, “beta” e “gamma”).

Il lato opposto al vertice A si indica con a, e l'angolo vicino ad A si indica con α. Lo stesso vale per B/b/β e per C/c/γ.

Le mediane

Qui puoi vedere un triangolo e i punti medi dei suoi tre lati.

La mediana di un triangolo è il segmento che collega un vertice con il punto medio del lato opposto. Disegna le tre mediane di questo triangolo. Cosa succede se sposti i vertici del triangolo?

Sembrerebbe che le mediane . Questo punto è chiamato il baricentro.

Le mediane si dividono in rapporto 2:1. Per ognuna delle tre mediane, la distanza tra il vertice e il baricentro è sempre distanza tra il baricentro e il punto medio del lato.

Il baricentro è anche il “punto di equilibrio” di un triangolo. Disegna un triangolo su un cartoncino, ritaglialo e disegna le tre mediane. Se il disegno è accurato, potrai ora tenere in equilibrio il triangolo sulla punta di una matita, o appenderlo perfettamente orizzontale ad un filo che è attaccato al baricentro:

Funziona perché il peso del triangolo è distribuito in modo uniforme attorno al baricentro. In fisica, questo punto è spesso chiamato il centro di massa.

Assi di un triangolo e cerchio circoscritto

Ricorda che l'asse di un segmento è la retta perpendicolare che passa per .

Disegna l'asse di tutti e tre i lati di questo triangolo. Per disegnare gli assi di un lato del triangolo, clicca semplicemente su un vertice e trascina il cursore da un vertice all'altro.

Come prima, i tre assi si intersecano in un solo punto. E di nuovo, questo punto ha una proprietà speciale.

Ogni punto su un asse ha la stessa distanza dai due estremi del segmento. Ad esempio, ogni punto sull'asse blu ha la stessa distanza dai punti A e C e ogni punto dell'asse rosso ha la stessa distanza dai punti .

Il punto di intersezione giace su tutti e tre gli assi, quindi deve avere la stessa distanza da tutti e tre i del triangolo.

Questo significa che possiamo tracciare un cerchio attorno a questo punto che tocca perfettamente tutti i vertici. Questo cerchio è chiamato cerchio circoscritto del triangolo e il centro è chiamato circocentro.

Perciò, se ti vengono dati tre punti qualsiasi, puoi usare il circocentro per trovare un cerchio che passa da tutti e tre i punti. (A meno che i punti siano , perché in quel caso giacciono tutti su una retta.)

Bisettici e cerchio inscritto

Comincerai probabilmente ad intuire il principio: scegliamo una costruzione, la ripetiamo tre volte per tutti i lati o angoli del triangolo, e poi scopriamo cos'ha di speciale l'intersezione di queste linee.

Ricorda che la bisettrice divide un angolo esattamente a metà. Disegna le bisettrici dei tre angoli in questo triangolo. Per disegnare una bisettrice, seleziona i tre punti che una volta collegati formano l'angolo che vuoi bisecare.

Ancora una volta, tutte e tre le linee si intersecano in un punto. Probabilmente te lo aspettavi, ma è importante notare che non è per niente ovvio che questo accada – i triangoli sono delle forme speciali!

I punti che giacciono su una bisettrice hanno la stessa distanza dalle due linee che delimitano l'angolo. Ad esempio, ogni punto sulla bisettrice blu ha la stessa distanza dal lato a e dal lato c, e ogni punto sulla bisettrice rossa ha la stessa distanza dai lati .

Il punto di intersezione giace su tutte e tre le bisettrici. Perciò deve avere la stessa distanza da tutti e tre i del triangolo.

Questo significa che possiamo tracciare un cerchio attorno a questo punto, che si trova all'interno del triangolo e sfiora i suoi tre lati. Questo cerchio è chiamato cerchio inscritto al triangolo e il suo centro è detto incentro.

Area e altezze

Trovare l'area di un rettangolo è semplice: basta moltiplicarene la base con l'altezza. Trovare l'area di un triangolo è un po' meno ovvio. Cominciamo ad “intrappolare” un triangolo in un rettangolo.

La base del rettangolo corrisponde al lato inferiore del triangolo (che è chiamato base). L'altezza del rettangolo è la distanza perpendicolare tra la base e il vertice opposto.

L'altezza divide il triangolo in due parti. Nota come i due pezzi mancanti nel rettangolo hanno esattamente la stessa area delle due parti del triangolo. Questo significa che il rettangolo è grande triangolo.

Possiamo facilmente calcolare l'area del rettangolo, quindi l'area di un triangolo deve valere la metà:

A=12× base × altezza

Per calcolare l'area di un triangolo, puoi scegliere uno qualsiasi dei tre lati come base, e poi trovare l'altezza corrispondente, che è la linea alla base e passa per il vertice opposto.

Ogni triangolo possiede altezze.

Come per mediane, assi e bisettrici, le tre altezze di un triangolo si intersecano in un solo punto che si chiama ortocentro del triangolo.

Nei triangoli acutangoli, l'ortocentro del triangolo.

Nei triangoli ottusangoli, l'ortocentro del triangolo.

Nei triangoli rettangoli, l'ortocentro del triangolo. Due delle altezze sono di fatto lati del triangolo.