Triangoli e trigonometriaProprietà dei triangoli

Per comodità, contrassegnamo i triangoli sempre nello stesso modo. I vertici vengono indicati con le lettere maiuscole A, B e C, i lati vengono indicati con le lettere minuscole a, b and c, e gli angoli con le lettere greche α, β e γ (“alpha”, “beta” e “gamma”).

Il lato opposto al vertice A si indica con a, e l'angolo vicino ad A si indica con α. Lo stesso vale per B/b/β e per C/c/γ.

Qui puoi vedere un triangolo e i punti medi dei suoi tre lati.

La mediana di un triangolo è il segmento che collega un vertice con il punto medio del lato opposto. Disegna le tre mediane di questo triangolo. Cosa succede se sposti i vertici del triangolo?

Sembrerebbe che le mediane si incontrino in un puntoabbiano la stessa lunghezzasi dividano reciprocamente a metà. Questo punto è chiamato il baricentro.

Le mediane si dividono in rapporto 2:1. Per ognuna delle tre mediane, la distanza tra il vertice e il baricentro è sempre il doppio dellail triplo dellauguale alla distanza tra il baricentro e il punto medio del lato.

Ricorda che l'asse di un segmento è la retta perpendicolare che passa per il suo punto medioi suoi estremi.

Disegna l'asse di tutti e tre i lati di questo triangolo. Per disegnare gli assi di un lato del triangolo, clicca semplicemente su un vertice e trascina il cursore da un vertice all'altro.

Come prima, i tre assi si intersecano in un solo punto. E di nuovo, questo punto ha una proprietà speciale.

Ogni punto su un asse ha la stessa distanza dai due estremi del segmento. Ad esempio, ogni punto sull'asse blu ha la stessa distanza dai punti A e C e ogni punto dell'asse rosso ha la stessa distanza dai punti A e BA e CB e C.

Il punto di intersezione giace su tutti e tre gli assi, quindi deve avere la stessa distanza da tutti e tre i verticilati del triangolo.

Questo significa che possiamo tracciare un cerchio attorno a questo punto che tocca perfettamente tutti i vertici. Questo cerchio è chiamato cerchio circoscritto del triangolo e il centro è chiamato circocentro.

Ricorda che la bisettrice divide un angolo esattamente a metà. Disegna le bisettrici dei tre angoli in questo triangolo. Per disegnare una bisettrice, seleziona i tre punti che una volta collegati formano l'angolo che vuoi bisecare.

Ancora una volta, tutte e tre le linee si intersecano in un punto. Probabilmente te lo aspettavi, ma è importante notare che non è per niente ovvio che questo accada – i triangoli sono delle forme speciali! Continua

I punti che giacciono su una bisettrice hanno la stessa distanza dalle due linee che delimitano l'angolo. Ad esempio, ogni punto sulla bisettrice blu ha la stessa distanza dal lato a e dal lato c, e ogni punto sulla bisettrice rossa ha la stessa distanza dai lati a e ba e cb e c.

Il punto di intersezione giace su tutte e tre le bisettrici. Perciò deve avere la stessa distanza da tutti e tre i lativertici del triangolo.

Questo significa che possiamo tracciare un cerchio attorno a questo punto, che si trova all'interno del triangolo e sfiora i suoi tre lati. Questo cerchio è chiamato cerchio inscritto al triangolo e il suo centro è detto incentro.

Trovare l'area di un rettangolo è semplice: basta moltiplicarene la base con l'altezza. Trovare l'area di un triangolo è un po' meno ovvio. Cominciamo ad “intrappolare” un triangolo in un rettangolo. Continua

La base del rettangolo corrisponde al lato inferiore del triangolo (che è chiamato base). L'altezza del rettangolo è la distanza perpendicolare tra la base e il vertice opposto. Continua

L'altezza divide il triangolo in due parti. Nota come i due pezzi mancanti nel rettangolo hanno esattamente la stessa area delle due parti del triangolo. Questo significa che il rettangolo è grande il doppio delil triplo delesattamente come il triangolo.

Possiamo facilmente calcolare l'area del rettangolo, quindi l'area di un triangolo deve valere la metà:

A=12× base × altezza

Come per mediane, assi e bisettrici, le tre altezze di un triangolo si intersecano in un solo punto che si chiama ortocentro del triangolo.

Nei triangoli acutangoli, l'ortocentro giace all'internogiace all'esternoè un vertice del triangolo.

Nei triangoli ottusangoli, l'ortocentro giace all'esternogiace all'internoè un vertice del triangolo.

Nei triangoli rettangoli, l'ortocentro è un verticegiace all'internogiace all'esterno del triangolo. Due delle altezze sono di fatto lati del triangolo.