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Triangoli e trigonometriaTeoremi del seno e del coseno

Momento della lettura: ~10 min

Finora, tutto ciò che abbiamo imparato sulla trigonometria vale solo per i triangoli rettangoli. Ma la maggior parte dei triangoli non sono rettangoli e ci sono due importanti risultati che valgono per qualsiasi triangolo.

Teorema del seno
In un triangolo con lati a, b e c, e angoli A, B e C,

sinaa=sinbb=sincc

Teorema del coseno
In un triangolo con lati a, b e c, e angoli A, B e C,

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

COMING SOON – Dimostrazione, esempi e applicazioni

La Grande indagine trigonometrica

Ti ricordi la ricerca della più alta montagna al Mondo vista nell'introduzione? Con la trigonometria, abbiamo finalmente i mezzi per trovarla!

Gli agrimensori in India misurarono l'angolo di inclinazione della cima della montagna da due posizioni diverse, a 5km di distanza. I risultati erano 23° e 29°.

Siccome l'angolo α è un angolo supplementare, sappiamo che misurerà °. Ora possiamo sfruttare la somma degli angoli interni di un triangolo per calcolare che l'angolo β misura °.

Ora conosciamo tutti e tre gli angoli del triangolo, e anche uno dei lati. Questo basta per usare il per trovare la distanza d:

sin151°=sin
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Resta un ultimo pasaaggio: osserviamo ora il grande triangolo rettangolo. Conosciamo già la lunghezza dell'ipotenusa, ma cio che ci serve è il cateto . Possiamo trovarlo usando la definizione di sin:

sin23°=
altezza=sin23°×23
=8.987 km

E questo risultato si avvicina molto alla vera altezza dell'Everest, la più alta montagna del mondo: 8,848m.

Questa spiegazione è una grande semplificazione dello straordinario lavoro fatto dai matematici e dai geografi che hanno lavorato sulla Grande indagine trigonometrica. Essi iniziarono a livello del mare sulla spiaggia e le misure si estesero per migliaia di chilometri, costruirono torri di osservazione attraverso tutto il paese e tennero anche in considerazione la curvatura della terra.