Sequenze e patternIntroduzione

Molte professioni che usano la matematica sono interessate ad un aspetto specifico: trovare schemi (pattern) per poter predire il futuro. Ecco alcuni esempi:

Nell'ultimo decennio, i dipartimenti di polizia in tutto il mondo hanno iniziato a fare più affidamento sulla matematica. Algoritmi speciali usano i dati dei crimini passati per prevedere quando e dove i crimini potrebbero verificarsi in futuro. Ad esempio, il sistema PredPol (abbreviazione di "polizia predittiva"), ha contribuito a ridurre il tasso di criminalità in alcune parti di Los Angeles del 12%!

Si è scoperto che i terremoti seguono schemi simili ai crimini. Proprio come un crimine potrebbe innescare delle ritorsioni, un terremoto potrebbe innescare delle scosse di assestamento. In matematica, si chiama "processo autoeccitante" e delle equazioni ci aiutano a prevedere quando potrebbe accadere il prossimo.

Inoltre, i banchieri guardano anche ai dati storici dei prezzi delle azioni, dei tassi di interesse e dei tassi di cambio per stimare come i mercati finanziari potrebbero cambiare in futuro. Essere in grado di prevedere se il valore di un titolo aumenterà o diminuirà può essere estremamente redditizio!

I matematici professionisti usano algoritmi molto complessi per trovare ed analizzare tutti questi schemi, ma inizieremo con qualcosa di un po' più semplice.

Sequenze semplici

In matematica, una successione è una sequenza di numeri (o altri oggetti) che di solito seguono uno schema particolare. I singoli elementi di una successione sono chiamati termini.

Ecco alcuni esempi di sequenze. Riesci a trovare i loro modelli e calcolare i prossimi due termini?

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … Pattern: “Per ottenere il prossimo numero, aggiungi 3 al numero precedente.”

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … Pattern: “Per ottenere il prossimo, aggiungi 6 al numero precedente.”

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … Pattern: “Per ottenere il prossimo numero, aggiungi 1 e aggiungi 3 al numero precedente, in alternanza.”

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … Pattern: “Per ottenere il prossimo numero, moltiplica il numero precedente per 2.”

I punti (...) alla fine significano semplicemente che la sequenza può continuare all'infinito. Quando ci riferiamo a successioni come questa in matematica, spesso rappresentiamo ogni termine con una variabile speciale:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Il piccolo numero dopo x si chiama pedice e indica la posizione del termine nella successione. Ciò significa che possiamo rappresentare il termine n nella sequenza di .

Numeri triangolari e quadrati

Le successioni matematiche non devono essere necessariamente composte da numeri. Ecco una successione di forme geometriche - triangoli di dimensioni crescenti:

Ad ogni passaggio, stiamo aggiungendo una nuova riga al triangolo precedente. Anche la lunghezza di queste nuove righe aumenta di volta in volta. Riesci a vedere lo schema?

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

Possiamo descrivere questo modello usando una formulaspeciale:

xn = xn−1 + n

Per ottenere il numero del triangolo n, prendiamo il numero del triangolo e aggiungiamo n. Ad esempio, se n = ${n}, la formula diventa x${n} = x ${n-1} + ${n}.

Una formula che esprime xn in funzione dei termini precedenti nella successione si chiama formula ricorsiva. Se conosci nella successione, puoi calcolare tutti i seguenti.

Un'altra successione che consiste di forme geometriche è rappresentata dai numeri quadrati. Ogni termine è formato da quadrati sempre più grandi:

Per i numeri dei triangoli abbiamo trovato una formula ricorsiva che ci dice il termine successivo della sequenza in funzione dei suoi termini precedenti. Per i numeri quadrati possiamo fare ancora meglio: una formula che ci dice il termine n direttamente, senza aver calcolato tutti i precedenti:

xn =

Questa si chiama formula esplicita. Possiamo usarla, ad esempio, per calcolare che il 13° numero quadrato, che è , senza prima trovare i precedenti 12 numeri quadrati.

Riassumiamo tutte le definizioni che abbiamo visto finora:

Una successione è un elenco di numeri, forme geometriche o altri oggetti che seguono uno schema specifico. I singoli elementi nella successione sono chiamati termini e rappresentati da variabili come xn.

Una formula ricorsiva per una successione indica il valore dell'ennesimo termine in funzione . Ma bisogna anche specificare i primi termini.

Una formula esplicita per una successione indica il valore dell'ennesimo termine in funzione , senza fare riferimento ad altri termini nella successione.

Fotografia in sequenza d'azione

Nelle sezioni seguenti imparerai molte successioni matematiche diverse, schemi sorprendenti e applicazioni inaspettate.

Per prima cosa, diamo un'occhiata a qualcosa di completamente diverso: fotografia istantanea di sequenze d'azione. Un fotografo fa molti scatti in rapida successione, quindi li unisce in un'unica immagine:

Riesci a vedere come lo sciatore forma una successione? Il modello non è addizione o moltiplicazione, ma una trasformazione geometrica. Tra una sequenza e l'altra, lo sciatore viene traslato e .

Ecco altri esempi di fotografia in sequenza d'azione per il tuo divertimento:

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Numeri triangolari e quadrati

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